Discuta o movimento de uma partícula descrito pela Equação 3.34 no caso de b   <   0 (isto é, a resistência de amortecimento é negativa).

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Bem galerinha temos que se a resistência de amortecimento b for negativa, a equação do movimento é:

x ¨ - 2 β x ˙ + ω 0 2 x = 0

Onde β = - b 2 m > 0 pois b < 0 . A solução geral é apenas a Eq. 3.40 com β alterado para - β .

x t = e β t A 1 exp ⁡ β 2 - ω 0 2 t + A 2 exp ⁡ - β 2 - ω 0 2 t

A partir desta equação, vemos que o movimento não é limitado, independentemente dos valores relativos de β 2 e ω 0 2 .

Dessa forma os três casos distinguidos na seção 3.5 agora tornam-se:

Caso 1: Se ω 0 2 > β 2 , o movimento consiste em uma solução oscilatória de frequência ω 1 = ω 0 2 - β 2 , multiplicado por um exponencial cada vez maior:

x t = e β t A 1 e i ω 1 t + A 2 e - i ω 1 t

Caso 2: Se ω 0 2 = β 2 , a solução é:

x t = A + B t e β t

que novamente é cada vez maior.

Caso 3: Se ω 0 2 < β 2 , a solução é:

x t = e β t A 1 e ω 2 t + A 2 e ω 2 t

Onde:

ω 2 = β 2 - ω 0 2 ≤ β

Esta solução também aumenta continuamente com o tempo.

Os casos das árvores descrevem movimentos nos quais a partícula está sempre se afastando de sua posição inicial, como nos casos 2 ou 3, ou está oscilando em torno de sua posição inicial, mas com amplitude que cresce com o tempo, como no caso 1. Como b   <   0 , o meio no qual a partícula se move continuamente fornece energia à partícula e o movimento cresce sem limites.

Com isso nós finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

v e r   p a s s o   a   p a s s o