Dois blocos, cada um com massa M, sâo conectados por um fio sem extensão, uniforme, de comprimento l. Um bloco é posicionado em uma superfície horizontal lisa, e o outro é suspenso pela lateral, e o fio passa por uma polia sem fricção. Descreva o movimento do sistema (a) quando a massa do fio for irrelevante e (b) quando o fio tiver uma massa m.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Fazendo um esboço da situação, temos:

Veja que o comprimento l do fio é:

S - x - y = l

Então:

x ' = - y '

Assim, a lagrangiana é:

L = 1 2 M x ' 2 + 1 2 M y ' 2 - m g y = M y ' 2 - M g y

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

A equação para o movimento é:

∂ L ∂ y - d d t ∂ L ∂ y ' = 0

Assim:

2 M y ' ' + M g = 0

De forma que

y ' ' = - g 2

Integrando, temos:

y t = - g 4 t 2 + C 1 t + C 2

Assumindo que y t = 0 = 0 y ' t = 0 = 0

y t = - g 4 t 2

Passo 3

Para b)

Quando o fio tiver massa, nós devemos considerar a energia cinética e potencial dele também, assim:

T f i o = 1 2 m y ' 2

U f i o =   - m l y g   y 2 = m g 2 l   y 2

Adicionando essas energias à Lagrangiana do item a), temos:

L = M y ' 2 - M g y + 1 2 m y ' 2 + m g 2 l   y 2

Agora a equação de movimento:

∂ L ∂ y - d d t ∂ L ∂ y ' = 0

É:

2 M + m y ' ' - m g l y + M g = 0

2 M + m y ' ' = m g l y - M l m

Desde que:

d 2 d t 2 y - M l m = d 2 d t 2   y

Assim:

d 2 d t 2 y - M l m = m g l 2 M + m y - M l m

y - M l m = A e γ t + B e - γ t

Onde:

γ = m g l 2 M + m

y t = 0 = 0 y ' t = 0 = 0

A = B = - M l 2 m

De forma que, ao final temos:

y t = M l m 1 - cosh ⁡ γ t

Resposta

Para a)

y t = - g 4 t 2

Para b)

y t = M l m 1 - cosh ⁡ γ t