Dois osciladores harmônicos idênticos (com massas M e frequências naturais ω0) estão acoplados tal que, se adicionamos ao sistema uma massa m comum aos dois osciladores, as equações de movimento se tornam

x ¨ 1 + m M x ¨ 2 + ω 0 2 x 1 = 0

x ¨ 2 + m M x ¨ 1 + ω 0 2 x 2 = 0

Resolva este par de equações acopladas e obtenha as frequências dos modos normais do sistema.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

As equações do movimento são:

x ¨ 1 + m M x ¨ 2 + ω 0 2 x 1 = 0

x ¨ 2 + m M x ¨ 1 + ω 0 2 x 2 = 0

Tentamos soluções da forma:

x 1 t = B 1 e i ω t   e   x 2 t = B 2 e i ω t

Exigimos uma solução não trivial (ou seja, o determinante dos coeficientes de B1 e B2 é igual a zero), e obtemos:

ω 0 2 - ω 2 2 - ω 4 m M 2 = 0

De modo a:

ω 0 2 - ω 2 = ± ω 2 m M

E depois:

ω 2 = ω 0 2 1 ± m M

Portanto, as frequências dos modos normais são:

ω 1 = ω 0 2 1 + m M   e   ω 2 = ω 0 2 1 - m M

Onde ω1 corresponde ao modo simétrico e ω2 ao modo antissimétrico.

Resposta

Ver passo a passo.