Duas esferas têm o mesmo diâmetro e a mesma massa, porém uma é sólida e a outra é uma casca oca. Descreva em detalhes um experimento não destrutivo para determinar qual delas é sólida e qual é oca.

Passo 1

Vamos comparar os momentos de inercia das duas esferas para os centros de cada uma.

Para a esfera sólida, temos:

I s = 2 5 M R ²

Já para a esfera oca:

I h = σ ∫ 0 2 x d ϕ   ∫ 0 π R s e n θ 2 ∙ R 2 ∙ s e n θ ∙ d θ  

I h = 2 π σ R 4 ∫ 0 π s e n 3 θ d θ

I h = 8 3 π σ R 4

Substituindo 4 π σ R 2 = M temos então:

I h = 2 3 M R ²

Passo 2

Rolando para baixo cada esfera num plano inclinado, a energia cinética será:

T = 1 2 M y ˙ 2 + 1 2 I θ ˙ ²

Onde y é o valor da distância ao longo do plano, a energia potencial será:

U = M g l - y s e n ( α )

Onde l é o comprimento do plano, e α é o ângulo de inclinação do plano. Como, y = R θ , então o Lagrange pode ser expresso como:

L = 1 2 M y 2 + 1 2 I R 2 y 2 + M g y   s e n ( α )  

Onde o termo constante em U foi suprimido. A equação do movimento para y é obtida da forma usual:

y ¨ = g M R 2 s e n α M R 2 + I

Resposta

Assim podemos concluir que a esfera com o menor momento de inercia terá uma maior aceleração rolando abaixo no plano.