Enunciado

Duas estrelas ligadas gravitacionalmente com massas diferentes m1 e m2, separadas por uma distância d, giram ao redor do seu centro de massa em órbitas circulares. Demonstre que o período τ é proporcional a d3/2 (Terceira Lei de Kepler) e determine a constante de proporcionalidade.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

As distâncias das estrelas ao centro de massa do sistema são respectivamente:

r 1 = m 2 m 1 + m 2 d   e   r 2 = m 1 m 1 + m 2 d

No equilíbrio, como no problema anterior, temos:

G m 1 m 2 d 2 = m 1 v 1 2 r 1 = > v 1 = G m 2 2 d m 1 + m 2

O período é dado por:

τ = 2 π r 1 v 1 = 2 π d 3 2 G m 1 + m 2

Como o período é proporcional a d3/2, temos:

τ ∝ d 3 2 = > τ = k d 3 2

Onde k é nossa constante de proporcionalidade. E comparando os resultados obtidos temos que:

k = 2 π G m 1 + m 2

O resultado será o mesmo se considerarmos o equilíbrio de forças atuando na 2ª estrela.

Resposta

Ver passo a passo.

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