Enunciado

Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção transversal mostrada na figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte BC da viga.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

Para isso precisamos dividir a nossa seção em seções mais simples (sempre que for possível precisamos fazer seções retangulares) e determinar a distância do centroide de cada seção até a base da peça total, assim, temos que:

Agora para termos a linha neutra basta fazermos o seguinte:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

Assim temos que:

A 1 = 76,2 × 152,4 = 11612,88   m m 2

A 2 = 76,2 × 3 × 50,8 = 11612,88   m m 2

y 1 = 127   m m

y 2 = 25,4   m m

y - = 11612,88 × 127 + 11612,88 × 25,4 11612,88 + 11612,88 = 76,2   m m

Assim a nossa LN é:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   e   I 2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1   e   d 2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I 1 = b h 3 12 = 76,2 × 152,4 3 12 = 22476496,98   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 228,6 × 50,8 3 12 = 2497388,55   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 22476496,98   + 2497388,55 + ( 11612,88 × 50,8 2 + 11612,88 × 50,8 2 )

I = 84911210,82   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

O valor de y é a distância da LN para as extremidades, assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

para o momento fletor é bem tranquilo, como as cargas são simétricas, basta somarmos as duas e dividir por dois que teremos as reações de apoio, e tendo a reação de apoio conseguimos determinar o momento atuante no centro da viga, fazendo isso, teremos que:

M + 66,7 × 762 - 66,7 × 1778 = 0

M = 67767,2   k N m m

Ou seja, o nosso momento traciona as fibras da parte de baixo, ou seja, o momento é positivo. Se traciona a parte de baixo sabemos que a tensão é positiva, sendo assim teremos que:

y - = - 76,2   m m

I = 84911210,82   m m 4

M = 67767,2   k N m m

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

σ t r a ç ã o = - 67767,2   k N m m × - 76,2 [ m m ] 84911210,82   [ m m 4 ]

σ t r a ç ã o = 0,06 08 k N m m 2 = 60,8   M P a

E analisando agora a compressão teremos que:

y + = 127   m m

I = 84911210,82     m m 4

M = 67767,2   k N m m

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

σ c o m p r e s s ã o = - 67767,2   k N m m × 127 [ m m ] 84911210,82   [ m m 4 ]

σ c o m p r e s s ã o = - 0,10135 k N m m 2 = - 101,35   M P a

Resposta

σ t r a ç ã o = 60,8   M P a

σ c o m p r e s s ã o = - 101,35   M P a

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