Duas massas m 1 e m 2 ( m 1 ≠ m 2 )   são conectadas por uma barra rígida de comprimento d e massa irrelevante. Um fio sem extensáo de comprimento l 1 é concetada a m 1 e a um ponto fixo de suporte P. De modo semelhante, um fio de comprimento l 1 ≠ l 2 conectada a m 2 e P. Obtenha a equação que descreve o movimento no plano de m 1 e m 2 e P e encontre a frequência das oscilações pequenas sobre a posição de equilíbrio.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação dita no enunciado, temos:

Temos diversas restrições, apenas uma coordenadas generalizada é precisa para descrever o sistema, que ϕ , que é o ângulo entre o plano P que é direção perpendicular a força gravitacional, e uma das extensões do fio. Assim, a energia pra lagrangiana é:

T = 1 2 m 1 l 1 ϕ ' 2 + 1 2 m 2 l 2 ϕ ' 2

E a potencial:

U = - m 1 g l 1 sin ⁡ π - ϕ + θ - m 2 g l 2 sin ⁡ ϕ

Assim, a lagrangiana é:

L = T - U = 1 2 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 ϕ ' 2 + m 1 g l 1 sin ⁡ ϕ + θ + m 2 g l 2 sin ⁡ ϕ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

A equação de movimento é, como sabemos, dada por:

d d t ∂ L ∂ ϕ ' = ∂ L ∂ ϕ

Ficando:

m 2 g l 2 cos ⁡ ϕ + m 1 g l 1 cos ⁡ ϕ + θ - m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 ϕ ' ' = 0

Esta é a equação que descreve o movimento no plano m 1 , m 2 e P

Passo 3

Para acharmos a frequência de pequenas oscilações sobre a posição de equilíbrio ϕ = ϕ 0 , expandamos a energia potencial U sobre ϕ 0 , assim:

U ( ϕ = U ϕ 0 + U ' ϕ 0 ϕ + 1 2 U ' ' ϕ 0 ϕ 2 + … = 1 2 U ' ' ϕ 0 ϕ 2  

Pois U ϕ 0 = 0 ,   U ' ϕ = 0 , da equação de movimento, temos:

ω 2 = U ' ' ϕ 0 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2

Precisamos achar U ' ' ,para termos a a frequência total.

Da condição U ' ϕ 0 = 0 , temos:

tan ⁡ ϕ 0 = m 2 l 2 + m 1 l 1 cos ⁡ θ m 1 l 1 sin ⁡ θ

De onde obtemos:

sin ⁡ ϕ 0 = m 2 l 2 + m 1 l 1 cos ⁡ θ m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 + 2 m 1 m 2 l 1 l 2 cos ⁡ θ

Assim, da equação da energia potencial, temos:

U ' ' = g sin ⁡ ϕ 0 m 2 l 2 + m 1 l 1 cos ⁡ θ + m 1 l 1 sin ⁡ θ cot ⁡ ϕ 0 =

g m 2 l 2 + m 1 l 1 cos ⁡ θ m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 + 2 m 1 m 2 l 1 l 2 cos ⁡ θ m 2 l 2 + m 1 l 1 cos ⁡ θ + m 1 l 1 2 sin 2 ⁡ θ m 2 l 2 + m 1 l 1 cos ⁡ θ =

g m 1 2 l 1 2 + m 2 2 l 2 2 + 2 m 1 m 2 l 2 l 1 cos ⁡ θ 1 2

Substituindo U ' ' , temos:

ω 2 = U ' ' ϕ 0 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 = g m 1 2 l 1 2 + m 2 2 l 2 2 + 2 m 1 m 2 l 2 l 1 cos ⁡ θ 1 2 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2

Lembrando que:

cos ⁡ θ = l 1 2 + l 2 2 - d 2 2 l 1 l 2

assim

ω 2 = g m 1 2 l 1 2 + m 2 2 l 2 2 + 2 m 1 m 2 l 2 l 1 l 1 2 + l 2 2 - d 2 2 l 1 l 2 1 2 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2

Rearranjando:

ω 2 = g m 1 + m 2 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 - d 2 m 1 m 2 1 2 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2

Resposta

A equação de movimento é:

m 2 g l 2 cos ⁡ ϕ + m 1 g l 1 cos ⁡ ϕ + θ - m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 ϕ ' ' = 0

E a frequência para oscilações pequenas é:

ω 2 = g m 1 + m 2 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2 - d 2 m 1 m 2 1 2 m 1 l 1 2 + m 2 l 2 2