Um eixo de aço oco com 100 in de comprimento, diâmetro externo 4 in e diâmetro interno 3.5 in, apoiado em mancais nas extremidades, suporta, no meio, o rotor de uma turbina que pesa 500 l b . A folga entre o rotor e o estator é 0,5 in o rotor tem uma excentricidade equivalente a um peso de 0,5 lb a um raio de 2 in. Uma chave limitadora é instalada para parar o rotor sempre que ele tocar o estator. Se o rotor funcionar em ressonância, quanto tempo levará para ativar a chave limitadora? Suponha que o deslocamento e a velocidade do rotor perpendicular ao eixo sejam zero.

Passo 1

I = π 64 0.1 4 - 0.09 4 = 1.68812 × 10 - 6 m 4

k = 48 E I l 3 = 48 200 × 10 9 1.68812 × 10 - 6 250 × 10 - 2 3 = 1.037181 × 10 6 N / m

m = 200 k g ; ω n = k m = 72.01323 r a d / s e c

Passo 2

Excentricidade = r = 5   c m

Massa excêntrica = m 0 = 0.2   k g

Força radial devido à massa excêntrica na ressonância = F 0 = m 0 r ω 2 = ( 0.2 ) 5 × 10 - 2 ( 72.01323 ) 2 = 51.85905   N

Seja x (t) = deslocamento radial da turbina na ressonância, Eq. (3.15) torna-se x 0 = x ˙ 0 = 0

x ( t ) = 1 2 δ s t ω n t s i n ⁡ ω n t

em que   δ s t = F 0 k = 51.85905 1.037181 × 10 16 = 50 × 10 - 6 m

Para ativar a chave de limite, x (t) = 1 cm e, portanto,

10 - 2 = 1 2 50 × 10 - 6 ( 72.01323 ) t s i n ⁡ 72.01323 t

i.e.,   t s i n ⁡ 72.01323 t = 5.554535 E 1

Eq. (E 1) é resolvido por tentativa e erro (assumindo valores de t = 10,9 , 8,7 , 6 , etc.)

t ≈ 6.9058 s e c

Resposta

t ≈ 6.9058 s e c

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