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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Gere, Mecânica dos Materiais- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 7

Um eixo escalonado ACB está preso nas extremidades A e B e submetido a um torque T 0 agindo na seção C (veja a figura).Os dois segmentos do eixo (AC e CB) têm diâmetros d A   a   d B , respectivamente, os momentos de inércia polar I P A   e   I P B , respectivamente . O eixo tem comprimento L e o segmento AC tem comprimento a .

  1. Para qual razão a/L as tensões de cisalhamento máximas serão as mesmas em ambos os segmentos do eixo?

Para qual razão a/L os torques internos serão os mesmos em ambos os segmentos do eixo?(Dica: Use as equações 3.45a e b do Exemplo 3.9 para obter os torques de reação).

Passo 1

Fala galerinha, tudo na paz??

Vamos iniciar calculando o comprimento do segmento AC.

L A = a

Calculando o comprimento do segmento CB.

L B = L - a

Escreveremos a expressão para torques reativos no ponto A e B utilizando as equações mencionadas no enunciado.

T A = T 0 L B I P A L B I P A + L A I P B

T B = T 0 L A I P B L B I P A + L A I P B

Passo 2

  1. Escreva a expressão para a tensão de cisalhamento no segmento AC

    2. τ A C = T A d A 2 I P A

    Escreva a expressão para a tensão de cisalhamento no segmento AC

    τ C B = T B d B 2 I P B

    Considerando τ A C = τ C B

    Substituindo   τ A C   e   τ C B

    T A d A 2 I P A = T B d B 2 I P B

    T A d A 2 I P A = T B d B 2 I P B

    Substituindo   T A   e   T B

    T 0 L B I P A L B I P A + L A I P B d A 2 I P A = T 0 L A I P A L B I P A + L A I P B d B 2 I P B

    L B d A = L A d B

    Substituindo L A   e   L B

    L - a d A = ( a ) d B

    Resolvendo a equação acima

    a L = d A d A + d B

    Portanto, se a tensão de cisalhamento máxima for a mesma para os dois segmentos do eixo, a relação a / L   será de d A d A + d B .

    Passo 3

  2. Considerando a condição dada igualar o torque no segmento AC igual ao torque do segmento CB

  T A =   T B

Substituindo   T A   e   T B

T 0 L B I P A L B I P A + L A I P B = T 0 L A I P B L B I P A + L A I P B

L B I P A = L A I P B

Substituindo

L B π 32 d A 4 = L A π 32 d B 4

Resolvendo a equação para a/L

a L = d A 4 d A 4 + d B 4

Portanto, se a torque interno for o mesma para os dois segmentos do eixo, a relação a / L   será de d A 4 d A 4 + d B 4 .

Resposta

Vide o passo a passo.