Enunciado

Se o eixo AB gira com uma velocidade angular constante ω = 50   r a d / s , determine as componentes X, Y, Z de reação no mancal radial A e no mancal axial B no instante mostrado. A placa fina tem uma massa de 10 kg. Despreze a massa do eixo AB.

Passo 1

Começaremos o exercício definindo os eixos de rotação xyz com origem no centro de massa da placa conforme o esquema a seguir:

Sendo assim, podemos escrever a velocidade angular da seguinte forma com o auxílio da vista lateral a seguir:

ω = - 50 s e n 60 ° j + 50 c o s 60 ° k r a d / s = - 43,3 j + 25 k   r a d / s

Uma vez que ω está sempre na direção do eixo –Y e tem uma magnitude constante, ω ˙ = 0 . E ainda, como Ω = ω ,   ω ˙ x y z = ω ˙ = 0 , então:

ω ˙ x = ω ˙ y = ω ˙ z = 0

Podemos ainda calcular os momentos de inércia do sistema com relação aos eixos definidos:

I x = I z = 1 12 10 0,3 2 = 0,075   k g . m 2

I y = 1 12 10 0,3 2 + 0,3 2 = 0,15   k g . m 2

Passo 2

Agora iremos aplicar o conjunto de equações do movimento 21-25 apresentadas no livro, ainda com base na figura apresentada no passo 1:

∑ M x = I x ω ˙ x - I y - I z ω y ω z

B Z 0,45 - A Z 0,45 = 0 - ( 0,15 - 0,075 ) ( - 43,3 ) ( 25 )

B Z + A Z = 180,42

Essa será nossa equação 1.

∑ M y = I y ω ˙ y - I z - I x ω z ω x

- A X 0,45 c o s 60 ° - B X 0,45 c o s 60 ° = 0 - 0

A X = - B X

Essa será nossa equação 2.

∑ M z = I z ω ˙ z - I x - I y ω x ω y

- A X 0,45 s e n 60 ° - B X 0,45 s e n 60 ° = 0 - 0

A X = - B X

Passo 3

Agora iremos aplicar os somatórios de força nas direções X, Y e Z.

∑ F X = m a G X

B X - A X = 0

Essa será nossa equação 3.

∑ F Y = m a G Y

B Y = 0

∑ F Z = m a G Z

A Z + B Z - 10 9,81 = 0 → A Z = 98,1 - B Z

Essa será nossa equação 4. Das equações 2 e 3, temos que:

A X = B X = 0

Agora substituindo a equação 4 na equação 1:

B Z + 98,1 - B Z = 180,42 → B Z = 139,3   N

E substituindo esse valor na equação 4:

A Z = 98,1 - 139,3 → A Z = - 41,2   N

Resposta

A X = B X = B Y = 0   N

A Z = - 41,2   N

B Z = 139,3   N

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