Encontre as autofrequências e descreva os modos normais para um sistema igual ao discutido na Seção 12.2, mas com três massas iguais m e quatro molas (todas com constantes de força iguais) com o sistema fixo nas extremidades.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

O esquema do problema:

Seguindo o procedimento descrito na seção 12.6:

T = 1 2 m x ˙ 1 2 + 1 2 m x ˙ 2 2 + 1 2 m x ˙ 3 2

U = 1 2 k x 1 2 + 1 2 k x 2 - x 1 2 + 1 2 k x 3 - x 2 2 + 1 2 k x 3 2 = k x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - x 1 x 2 - x 2 x 3

Desta forma:

m = m 0 0 0 m 0 0 0 m   e   A = 2 k - k 0 - k 2 k - k 0 - k 2 k

Assim devemos resolver:

2 k - m ω 2 - k 0 - k 2 k - m ω 2 - k 0 - k 2 k - m ω 2 = 0

Isso se reduz a:

2 k - m ω 2 3 - 2 k 2 2 k - m ω 2 = 0 = > 2 k - m ω 2 2 k - m ω 2 2 - 2 k 2 = 0

Se o primeiro termo for zero, teremos:

ω 1 = 2 k m

Se o segundo termo for zero, então:

2 k - m ω 2 = ± 2 k

O que leva a:

ω 2 = 2 + 2 k m   e   ω 3 = 2 - 2 k m

Para obter os modos normais, devemos resolver:

∑ j A j k - ω r 2 m j k a j r = 0

Para k = 1 isso dá:

( 2 k - m ω r 2 ) a 1 r - k a 2 r = 0

Substituindo para cada valor de r dá:

r = 1 : 2 k - 2 k a 11 - k a 21 = 0 = > a 21 = 0

r = 2 : - 2 k a 12 - k a 22 = 0 = > a 22 = - 2 a 12

r = 3 : 2 k a 13 - k a 23 = 0 = > a 23 = 2 a 13

Fazendo o mesmo para k = 2 e 3 resulta:

a 11 = - a 31 ;   a 12 = a 32   e   a 13 = a 33

a 21 = 0 ;   a 22 = - 2 a 32   e   a 23 = 2 a 33

As equações:

x 1 = a 11 η 1 + a 12 η 2 + a 13 η 3 ;   x 2 = a 21 η 1 + a 22 η 2 + a 23 η 3   e   x 3 = a 31 η 1 + a 32 η 2 + a 33 η 3

Pode assim ser reescritas como:

x 1 = a 11 η 1 - 1 2 a 22 η 2 + a 33 η 3

x 2 = a 22 η 2 + 2 a 33 η 3

x 3 = - a 11 η 1 - 1 2 a 22 η 2 + a 33 η 3

Obtemos os modos normais resolvendo estas três equações para η1, η2, η3:

η 1 = x 1 - x 3 2 a 11 ;   η 2 = - x 1 + 2 x 2 - x 3 2 2 a 22   e   η 3 = x 1 + 2 x 2 + x 3 4 a 33

O movimento dos modos normais são os seguintes:

Resposta

Ver passo a passo.