Encontre as coordenadas normais para o problema discutido na Seção 12.2 e no Exemplo 12.1 se as duas massas forem diferentes, m1   ≠ m2. Você deve assumir novamente que todos os x são iguais.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

Sendo k1 = k2 = k12 = k, teremos que as equações de movimento são:

m 1 x ¨ 1 + 2 k x 1 - k x 2 = 0   e   m 2 x ¨ 2 + 2 k x 2 - k x 1 = 0

Supondo soluções da forma:

x 1 t = B 1 e i ω t   e   x 2 t = B 2 e i ω t

Que nos dá:

2 k - m 1 ω 2 B 1 - k B 2 = 0   e   - k B 1 + 2 k - m 2 ω 2 B 2 = 0

Que resulta em:

2 k - m 1 ω 2 2 k - m 2 ω 2 = k 2

Portanto:

ω 2 = k μ 1 ± 1 - 3 μ m 1 + m 2

Onde a massa reduzida do sistema é:

μ = m 1 m 2 m 1 + m 2

Inserindo os valores para ω1 e ω2 em qualquer uma das equações:

2 k - m 1 ω 2 B 1 - k B 2 = 0   e   - k B 1 + 2 k - m 2 ω 2 B 2 = 0

Encontramos:

2 - m 1 μ 1 + 1 - 3 μ m 1 + m 2 a 11 = a 21   e   a 1 2 = 2 - m 1 μ 1 - 1 - 3 μ m 1 + m 2 a 2 2

Usando a condição de ortonormalidade teremos que:

a 11 = 1 D 1   e   a 21 = 2 - m 1 + m 2 m 2 1 + 1 - 3 m 1 m 2 m 1 + m 2 2 D 1

Onde:

D 1 ≡ 2 m 2 - m 1 + 2 m 1 2 m 2 + 2 m 2 m 1 2 - m 2 2 1 - 3 m 1 m 2 m 1 + m 2 2

O segundo autovetor tem os componentes:

a 1 2 = 2 - m 1 + m 2 m 2 1 - 1 - 3 m 1 m 2 m 1 + m 2 2 D 2   e   a 21 = 1 D 2

Onde:

D 2 ≡ 2 m 1 1 + m 1 2 m 2 2 + m 2 1 - 3 m 1 2 m 2 2 + 2 m 1 1 - m 1 2 m 2 2 1 - 3 m 1 m 2 m 1 + m 2 2

As coordenadas normais para o caso em que q ˙ j 0 = 0 são:

η 1 t = m 1 a 11 x 10 + m 2 a 21 x 20 cos ⁡ ω 1 t   e   η 2 t = m 1 a 1 2 x 10 + m 2 a 2 2 x 20 cos ⁡ ω 2 t

Resposta

Ver passo a passo.