Encontre as frequências características dos circuitos acoplados da Figura 12.C.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

O esquema do problema apresentado, com o sentido adotado da aplicação da lei das malhas:

As equações do circuito de Kirchhoff são:

L 1 I ˙ 1 + q 1 C 1 + L 12 ( I ˙ 1 - I ˙ 2 ) = 0   e   L 2 I ˙ 2 + q 2 C 2 + L 12 ( I ˙ 2 - I ˙ 1 ) = 0

Diferenciando essas equações usando q ˙ = I , podemos escrever:

L 1 + L 1 2 I ¨ 1 + I 1 C 1 + L 12 I ¨ 2 = 0   e   L 2 + L 12 I ¨ 2 + I 2 C 2 + L 12 I ¨ 1 = 0

Como de costume, tentamos soluções da forma:

I 1 = B 1 e i ω t   e   I 2 = B 2 e i ω t

Que levam a:

ω 2 L 1 + L 12 - 1 C 1 B 1 - L 12 ω 2 B 2 = 0

- L 12 ω 2 B 1 + ω 2 L 2 + L 12 - 1 C 2 B 2 = 0

Definindo o determinante dos coeficientes dos B's igual a zero, obtemos:

ω 2 L 1 + L 12 - 1 C 1 ω 2 L 2 + L 12 - 1 C 2 = L 12 2 ω 4

Com a solução:

ω 2 = L 1 + L 12 C 1 + L 2 + L 12 C 2 ± L 1 + L 12 C 1 - L 2 + L 12 C 2 2 + 4 L 12 2 C 1 C 2 2 C 1 C 2 L 1 + L 12 L 2 + L 12 - L 12 2

Observamos que no limite de acoplamento fraco (L12 → 0) e L1 = L2 = L, C1 = C2 = C, a frequência se reduz para:

ω = 1 L C

Que é apenas a frequência de oscilações desacopladas [Eq. (3,78)].

Resposta

Ver passo a passo.