Encontre os modos normais para os pêndulos acoplados na Figura 12.5 quando o pêndulo à esquerda possui cabeça de massa m 1 = 300 g   e o da direita possui cabeça de massa m 2 = 500 g . O comprimento de ambos os pêndulos é de 40 cm e a constante cla mola é 0,020 N/m. quando o pêndulo da esquerda é inicialmente puxado de volta a θ 1 = - 7 ° e liberado do descanso quando θ 2 = θ 2 ˙ = 0 , qual é o ângulo máximo que θ 2 se alcança? Utilize a aproximação do ângulo pequeno.

Passo 1

Bora lá pessoal, vamos começar com as energias.

Energia cinética:

Energia potencial:

Passo 2

Resolvendo a equação, D e t A - ω 2 m = 0 , que nos dá as frequências de oscilação apropriadas.

A autofrequencia correspondente a ω 1 é a 11 a 21   com a 21 = 7,44 a 11 .

A autofrequencia correspondente a ω 2 é a 1 2 a 2 2   com a 2 2 = 8,55 a 1 2 .

Passo 3

E olha aí da solução do problema 12-27, nós temos que as coordenadas normais são:

Pega essa visão, com isso percebemos que η 1 caracteriza a oscilação em fase de dois pêndulos, e η 2 caracteriza a oscilação fora de fase de dois pêndulos.

Passo 4

Agora, para incorporar as condições iniciais, vamos escrever a forma de oscilação mais geral:

onde α   é uma constante de normalização real. As condições iniciais ajudam a determinar os parâmetros α s ' , a s ' ,   δ s .

Como δ 1 = 0 então:

Onde ω 1 = 5,03   r a d / s   e   ω 2 = 4,98   r a d / s :

Resposta

E seguindo o jogo, vemos que o ângulo máximo θ 2 é aproximadamente 0,096 e isso acontece quando:

Que nos dá:

Como ω 1 ω 2 = 101 100 encontramos k = n = 50 e t = 100 π ω 2 = 63 s .