A energia de um quantum de luz (ou fóton) é expressa por E = h v onde h é a constante de Planck e v é a frequência do fóton. A quantidade de movimento do fóton é h   v / c . Mostre que, se o fóton espalha a partir de um elétron livre (de massa m c ), o fóton espalhado tem uma energia:

E ' = E 1 + E m e c 2 - 1 - cos ⁡ θ - 1

Onde θ é o ângulo por meio do qual o fóton espalha. Mostre também que o elétron adquire uma energia cinética:

T = E 2 m e c 2 1 - cos ⁡ θ 1 + E m e c 2 - 1 - cos ⁡ θ

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo para a ÚLTIMA questão do nosso livro!

Da conservação da energia, temos:

h v + m e c 2 = γ m e c 2 + h v '     ( 1 )

A conservação do momento ao longo do eixo x dá:

h v c = h v ' c cos ⁡ θ - γ m e   v cos ⁡ Φ     ( 2 )

A conservação do momento ao longo do eixo y fornece:

γ m e   v sin ⁡ Φ = h v ' c sin ⁡ θ     3

Para eliminar φ , usamos (2) e (3) para obter:

cos ⁡ Φ = 1 γ m e h v c - h v ' c cos ⁡ θ     4.1

sin ⁡ Φ = h v ' γ m e v sin ⁡ θ     ( 4.2 )

Então:

cos 2 ⁡ Φ + sin 2 ⁡ Φ = 1 = 1 γ 2 m e 2 v 2 h v c 2 + h v ' c 2 - 2 h v c + h v ' c cos ⁡ θ     ( 5 )

Desde γ = 1 1 - v 2 c 2 e v = c γ γ 2 - 1 , teremos:

γ 2 v 2 = c 2 γ 2 - 1     ( 6 )

Substituindo γ de (1) em (6), temos:

γ 2 v 2 = 2 h m e v - v ' + h 2 m e 2 c 2 v - v ' 2     ( 7 )

De (5) e (7), podemos encontrar a equação para ν ' :

h v c 2 + h v ' c 2 - 2 h v c + h v ' c cos ⁡ θ = 2 h m e v - v ' + h 2 c 2 v - v ' 2     ( 8 )

Ou,

2 m e c 2 h + 2 v 1 - cos ⁡ θ v ' = 2 m e c 2 h v       ( 9 )

Então,

v ' = 1 1 + h v m e c 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) v     ( 10 )

Ou,

E ' = E 1 + E m e c 2 1 - cos ⁡ θ       ( 11 )

A energia cinética do elétron é:

T = γ m e c 2 - m e c 2 = h v = h v ' = E [ 1 - 1 1 + E m e c 2 1 - cos ⁡ θ ]

T = E 2 m e c 2 1 - cos ⁡ θ 1 + E m e c 2 1 - cos ⁡ θ       ( 12 )

Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!

Resposta

E ' = E 1 + E m e c 2 1 - cos ⁡ θ

T = E 2 m e c 2 1 - cos ⁡ θ 1 + E m e c 2 1 - cos ⁡ θ