Uma esfera sólida de massa M e raio R gira livremente no espaço com velocidade vetorial angular ω em torno de um diâmetro fixo. Uma partícula de massa m, inicialmente em um polo, se move com velocidade vetorial constante v ao longo de um grande círculo da esfera. Demonstre que, quando a partícula alcança o outro polo, a rotação da esfera terá sido retardada por um ângulo onde T é o tempo total necessário para a partícula se movimentar de um polo a outro.

Passo 1

Quando a massa m está no outro polo, a componente z do momento angular do sistema é:

L 2 = I ω = 2 5 M R 2 ω

Depois que a massa se moveu uma distância v t = R θ ao longo de um grande círculo na superfície da esfera, a componente z do momento angular do sistema é:

L 2 = 2 5 M R 2 + m R 2 s e n 2 θ ϕ ˙

Onde ϕ é a nova velocidade angular. Como não há nenhuma força externa atuando sobre o sistema, momento angular deve ser conservado. Portanto, igualando as equações acima, temos:

ϕ ˙ = 2 5 M R 2 ω 2 5 M R 2 + m R 2 s e n 2 θ

Substituindo θ = v t / R e integrando ao longo do intervalo de tempo durante o qual a massa vai de um polo ao outro, temos:

ϕ = ∫ t = 0 t = π R V 2 5 M R 2 ω 2 5 M R 2 + m R 2 s e n 2 v t R d t

Passo 2

Fazendo as seguintes substituições:

v t R ≡ u ,     d t = R v d u

Portanto:

ϕ = ∫ 0 π 2 5 M R 2 ω 2 5 M R 2 + m R 2 s e n 2 u R v   d u = 2 R ω v   ∫ 0 π 2 d u 1 + β s e n ² u

Onde β = 5 m 2 M e onde usamos o fato de que o integrando é simétrico em torno de

u = π 2 para escrever ϕ como duas vezes o valor da integral na metade do intervalo. Usando a identidade:

s e n 2 u = 1 2 1 - cos ⁡ 2 u

Dessa forma:

ϕ = 2 R ω v ∫ 0 π 2 d u 1 + 1 2 β - 1 2 β c o s ⁡ ( 2 u )

Realizando a substituição de x = 2 u :

ϕ = R ω v ∫ 0 π d x 1 + 1 2 β - 1 2 β cos ⁡ x

Passo 3

Utilizando das equações trigonométricas características, temos:

ϕ = 2 R ω v 1 + β tan - 1 ⁡ 1 + β t a n x 2 1 + β   0 π

ϕ = π R ω v 2 M 2 M + 5 m = ω T 2 M 2 M + 5 m

Onde T = π R v é o tempo necessário para que a partícula se mova de um polo para outro.

Se m = 0 , então:

ϕ m = 0 = ω T

Resposta

Portanto, o ângulo de retardo será:

α = ϕ m = 0 - ϕ ( m )

Reescrevendo:

α = ω T 1 - 2 M 2 M + 5 m