Uma esfera sólida de massa M e raio R gira livremente no espaço com velocidade vetorial angular em torno de um diâmetro fixo. Uma partícula de massa m, inicialmente em um polo, se move com velocidade vetorial constante v ao longo de um grande círculo da esfera. Demonstre que, quando a partícula alcança o outro polo, a rotação da esfera terá sido retardada por um ângulo onde T é o tempo total necessário para a partícula se movimentar de um polo a outro.
Passo 1
Quando a massa está no outro polo, a componente do momento angular do sistema é:
Depois que a massa se moveu uma distância ao longo de um grande círculo na superfície da esfera, a componente do momento angular do sistema é:
Onde é a nova velocidade angular. Como não há nenhuma força externa atuando sobre o sistema, momento angular deve ser conservado. Portanto, igualando as equações acima, temos:
Substituindo e integrando ao longo do intervalo de tempo durante o qual a massa vai de um polo ao outro, temos:
Passo 2
Fazendo as seguintes substituições:
Portanto:
Onde e onde usamos o fato de que o integrando é simétrico em torno de
para escrever como duas vezes o valor da integral na metade do intervalo. Usando a identidade:
Dessa forma:
Realizando a substituição de :
Passo 3
Utilizando das equações trigonométricas características, temos:
Onde é o tempo necessário para que a partícula se mova de um polo para outro.
Se , então:
Resposta
Portanto, o ângulo de retardo será:
Reescrevendo: