Uma espaçonave de massa 10.000   k g é "estacionada" em órbita circular a 200   k m acima da superfície da Terra. Qual é a energia mínima requerida (despreze a massa do combustível queimado) para colocar o satélite em órbita síncrona (isto é, τ = 24 h )?

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Para encontrar essa energia, primeiro vamos encontrar o raio que teríamos com esse período de 1 dia e depois aplicar na energia gravitacional. Vamos aos cálculos.

Passo 2

A terceira lei de Kepler nos diz que

τ 2 r 2 3 = 4 π 2 G M

Isolando r 1 temos

r 2 = G M e τ 2 4 π 2 3

Onde r 2 é o novo raio da órbita, G = 6,67 ⋅ 10 - 11   N m 2 / k g 2 é a constante de gravitação universal de Newton, M e = 5,98 ⋅ 10 24   k g é a massa da Terra e τ é o novo período de 1   d i a . Substituindo os valores e fazendo os cálculos, temos

r 2 = 4,255 ⋅ 10 7   m

Passo 3

Com esse raio, aplicamos agora na energia gravitacional, que tem a forma de

E = - G M m 2 r 2

Para a distância, temos dois valores. O primeiro é o valor do raio da órbita antiga, que é r 1 = 2 ⋅ 10 5   m + 6,37 ⋅ 10 6   m que são os valores da distância da espaçonave até o solo mais o raio da Terra e o outro raio é r 2 que achamos antes. Substituindo os valores e fazendo as contas, temos

E 1 =   - G M m 2 r 1 2 = - 3,04 ⋅ 10 11   J

E 2 = - G M m 2 r 2 2 = - 4,72 ⋅ 10 10   J

Para encontrar a energia mínima é só fazer E m i n = E 2 - E 1

E m i n = - 4,72 ⋅ 10 10 - - 3,04 ⋅ 10 11 = 2,57 ⋅ 10 11   J

Resposta

A energia mínima é de 2,57 ⋅ 10 11   J .

Mais um problema feito. Bora pra mais um?