Uma espaçonave está sendo projetada para descarte de lixo nuclear fora do sistema solar ou por colisão no Sol. Suponha que nenhum voo planetário seja permitido e que os empuxos ocorram somente no plano orbital. Qual missão irá exigir a menor energia? Explique.

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nessa questão, para a colisão com o sol, temos que calcular a velocidade de transmissão para tirar a espaçonave da órbita da Terra e coloca-la na órbita em colisão com o sol.

No caso de descarte do lixo fora do sistema solar, temos que calcular a velocidade para superar a força gravitacional do sol e da Terra e através dessa velocidade calculamos a variação da velocidade orbital que precisamos.

Passo 2

Para calcular a velocidade orbital para tirar da órbita da Terra e coloca-la na órbita de colisão com o sol, vamos usar a equação de transmissão orbital

∆ v 1 s o l = 2 G M s r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 - G M s r 1

Onde G = 6,67 ⋅ 10 - 11 N m 2 / k g 2 é a constante de gravitação universal de Newton, M s = 1,99 ⋅ 10 30 k g é a massa do sol, r 1 = 1,5 ⋅ 10 11 m é a distância da Terra até o sol e r 2 = 6,96 ⋅ 10 8 m é o raio do sol. Substituindo os valores e fazendo as contas, vamos obter

∆ v 1 s o l = - 26,9 k m / s

Passo 3

Para o caso de escape do sistema solar, considerando apenas a força do sol e da Terra atuam sobre a nave, temos, da conservação da energia

- G M s m r 1 - G M T e r r a m r e + 1 2 m v 2 = 0

Sendo r e = 6,371 ⋅ 10 6 m o raio da Terra, M e = 5,972 ⋅ 10 24 k g a massa da Terra e v a velocidade da espaçonave. Substituindo os valores e fazendo as contas, vamos obter

v = 43500   m / s

Com esse valor, podemos obter a velocidade de transmissão orbital, que é

∆ v = v - v i

Sendo esse v i a velocidade de escape da Terra. Temos então

∆ v = v - G M s r 1

Substituindo os valores que achamos, obtemos

∆ v = 13,8 k m / s

Que é, em módulo, menor que o valor que obtemos para o caso do sol.

Resposta

Vamos gastar menos energia no caso do escape do sistema solar.

Mais um problema feito. Bora pra mais um?