Enunciado

Para um estado plano de tensões é conhecido que, para cada uma das duas orientações indicadas para os eixos coordenados, as tensões, normal e de cisalhamento, são dirigidas como mostrado, e as intensidades das tensões normais σ x ,   σ y e σ x ' , são respectivamente iguais a 80   M P a , 30   M P a e 75   M P a . Determinar: (a) os planos e as tensões principais; (b) a tensão de cisalhamento máxima, no plano.

Passo 1

a) O que a gente precisa fazer aqui é usar o Círculo de Mohr para descobrir o ângulo θ p e seu sentido, porque ele define a orientação dos planos principais. E depois descobrir as tensões principais.

E como a gente faz isso? Vamos tentar montar esse círculo com as informações que a gente tem. Vamos listar:

- a tensão normal no eixo x é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x = 80   M P a

- a tensão normal no eixo y é positiva porque está saindo da seção e vale: σ y = 30   M P a

- a tensão normal no eixo x ' é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x ' = 75   M P a

- vamos considerar o cisalhamento positivo, como está na figura.

Bora começar!

Passo 2

Achando a coisinhas que a gente precisa para montar o Círculo de Mohr: vamos calcular as coordenadas de X , Y , o centro   C e o raio R . Temos que:

X = σ x ,   - τ x y = 80 ,   - τ x y

Y = σ y ,   τ x y = 30 ,   τ x y

σ m é d i o = σ x + σ y 2 = 55   M P a

C = σ m é d i o , 0 = 55 ,   0

Só não conseguimos achar o raio ainda. Vamos desenhar com um raio genérico e o plano de ϕ = 30 ° , só para peceber uma coisinha. Como no elemento, ϕ está no sentido anti-horário, a gente marca o dobro dele no sentido anti-horário.

No plano de ϕ a gente tem cisalhamento negativo. E aí a gente pode lembrar que para esse caso:

X ' = σ x ,   τ x ' y ' = 75 ,   τ x ' y '

Passo 3

Olhando para esse círculo lindão, percebemos umas coisinhas:

R cos ⁡ ( 2 θ p ) = ( 80 - 55 ) ∴ R = 25 cos ⁡ 2 θ p

R cos ⁡ 60 ° - 2 θ p = 75 - 55 ∴ R = 20 cos ⁡ 60 ° - 2 θ p

25 cos ⁡ 2 θ p = 20 cos ⁡ 60 ° - 2 θ p ∴ 25 cos ⁡ 60 ° - 2 θ p = 20 cos ⁡ 2 θ p

25 20 ( cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 2 θ p + s e n   60 °   s e n   2 θ p ) = cos ⁡ 2 θ p

25 20 ( cos ⁡ 60 ° + s e n   60 °   t g   2 θ p ) = 1 ∴ θ p = 1 2 a r c t g 20 25 - cos ⁡ 60 ° s e n   60 ° = 9,55 °

Ufa! A gente achou o primeiro ângulo que define os planos principais. E a gente precisa girar nossa reta no sentido anti-horário para chegar no eixo horizontal. Para descobrir o ângulo do outro plano é só substrair 90 ° dele. Dá:

θ p 2 = 80,45 °

Só que no sentido horário.

Passo 4

Poxa, mas quem é o raio? É só substituir o ângulo em uma das equações que a gente usou:

R = 25 cos ⁡ 2 ⋅ 9,55 ° = 26,5   M P a

Aí a gente consegue achar as tensões principais:

σ m í n = σ m é d i o - R = 55 - 26,5 = 28,5   M P a

σ m á x = σ m é d i o + R = 55 + 26,5 = 81,5   M P a

Passo 5

b) Agora a gente quer a tensão de cisalhamento máximo. Aqui é só lembrar que:

τ m á x = R = 26,5   M P a

Resposta

(a) θ p = 9,55 ° no sentido anti-horário e θ p 2 = 80,45 ° no sentido horário.

(b)   σ m í n = 28,5   M P a ,   σ m á x = 81,5   M P a

(c)   τ m á x = 26,5   M P a

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