Enunciado

Para o estado plano de tensões mostrado, determinar a variação dos valores de θ , para que a intensidade de tensão de cisalhamento τ x ' y ' seja igual ou inferior que 45   M P a .

Passo 1

O que a gente precisa fazer aqui é usar o Círculo de Mohr para descobrir os intervalos para θ nos quais o cisalhamento após a rotação tenha a intensidade máxima de 45   M P a .

E como a gente faz isso? Vamos tentar montar esse círculo com as informações que a gente tem. Vamos listar:

- a tensão normal no eixo x é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x = 60   M P a

- a tensão normal no eixo y é negativa porque está entrando na seção e vale: σ y = - 20   M P a

- tensão de cisalhamento está no sentido positivo e vale: τ x y = 30   M P a

Bora começar!

Passo 2

Achando a coisinhas que a gente precisa para montar o Círculo de Mohr, vamos achar as coordenadas de X , Y e o centro   C . Temos que:

X = σ x ,   - τ x y = 60 ,   - 30

Y = σ y ,   τ x y = - 20 ,   + 30

σ m é d i o = σ x + σ y 2 = 20   M P a

C = σ m é d i o , 0 = 20 ,   0

Colocando essas coisas no Círculo:

Passo 3

Aí a gente consegue achar o raio R com as relaçõezinhas de triângulo retângulo:

d = σ y - σ x 2 = - 20 - 60 2 = 40   M P a

R = d 2 + τ x y 2 = 40 2 + 30 2 = 50   M P a

E θ p :

t g   2 θ p = τ x y d = 3 4 ∴ θ p = 18,43 °

Passo 4

Tá, e agora o que a gente faz com isso tudo? Bem a gente marca no Círculo onde | τ x ' y ' | ≤ 45   M P a :

Conseguimos tirar essa relação daí:

sen ⁡ 2 ϕ = τ R ∴ sen ⁡ 2 θ = 45 50 ∴ ϕ = 32 , 08 °

Repara que para X chegar em X 1 ' , ele precisa girar no sentido horário, um ângulo que vale:

2 θ 2 = 2 ϕ - 2 θ p ∴ θ 2 = ϕ - θ p = 32,08 ° - 18,43 ° = 13,65 °

Já para chegar em X 2 ' , X vai precisar girar no sentido anti-horário, um ângulo que vale:

2 θ 1 = 2 θ p + ϕ ∴ θ 1 = θ p + ϕ = 50 , 51 °

Aí nosso primeiro intervalinho fica:

- 13,65 ° ≤ θ ≤ 5 0 , 51 °

A gente pode fazer o mesmo raciocínio para X chegar em X 3 ' e X 4 ' pelo sentido anti-horário:

2 θ 3 = 180 - 2 ϕ - θ p ∴ θ 3 = 90 - ϕ - θ p = 76,35 °

2 θ 4 = 180 + 2 θ 2 ∴ θ 4 = 9 0 + θ 2 = 140,51 °

Aí nosso segundo intervalo fica:

76,35 ° ≤ θ ≤ 140,51 °

Resposta

- 13,65 ° ≤ θ ≤ 50,51 ° e 76,35 ° ≤ θ ≤ 140,51 °

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