Examine o movimento do pião simétrico discutido na Seção 11.11 para o caso de o eixo de rotação ser vertical (isto é, se os eixos x 3 ' e   x 3 , coincidem). Demonstre que o movimento é estável ou instável dependendo da quantidade 4 I 1 M h g / I 3 2 ω 3 2 ser menor ou maior, do que a unidade. Desenhe o gráfico do potencial efetivo V ( θ ) paro os dois casos e indique as características dessas curvas que determinam se o movimento é estável. Se o pião é mantido em giro na configuração estável, qual será o efeito à medida que o atrito reduz gradualmente o valor de ω 3 ? (Este é o caso do "pião adormecido".)

Passo 1

Quando o movimento é vertical θ = 0 . Então:

P ϕ = I 3 θ ˙ + ψ ˙ = P ψ

P ϕ = P ψ = I 3 ω 3

E de acordo com o capítulo 11:

E = 1 2 I 3 ω 3 2 + M g h

Se quisermos examinar o comportamento do sistema próximo a θ   =   0 para determinar as condições para estabilidade, podemos usar os valores de P ψ ,   P ϕ , e E ' para θ   =   0 . Desta forma:

M g h = 1 2 I 12 θ ˙ 2 + I 3 2 ω 3 2 ( 1 - c o s θ ) ² 2 I 12 s e n 2 θ + M g h ∙ c o s θ

Passo 2

Mudando a variável para z = cos ⁡ θ e reorganizando:

z ˙ 2 = 1 - z 2 I 12 2 2 M g h ∙ I 12 ∙ 1 + z - I 3 2 ω 3 2

As questões relativas à estabilidade podem ser respondidas examinando esta expressão. Primeiro, notamos que para o movimento fisicamente real devemos ter z ˙ ²   ≥   0 . Agora, suponha que o pião está girando muito rapidamente, ou seja, que ω 3 é grande. Então, o termo entre colchetes será negativo. Em um tal caso, a única maneira de manter a condição z ˙ ²   ≥   0

é ter z   =   1 , ou seja, θ   =   0 . Assim, o movimento em θ   =   0 será estável enquanto:

4 M g h ∙ I 12 - I 3 2 ω 3 2 < 0

Ou:

4 M g h ∙ I 12 I 3 2 ω 3 2 < 1

Passo 3

Suponha agora que o pião está girando com θ   =   0 mas com ω 3 suficientemente pequeno para que a condição no Passo X não seja atendida. Qualquer pequena perturbação longe de θ   =   0   dará a z um valor negativo e θ continuará a aumentar; ou seja, o movimento é instável. De fato, θ irá continuar até que z atinja um valor z 0   que novamente torna os colchetes iguais a zero. Isto é um ponto de virada para o movimento.

A partir desta discussão é evidente que existe um valor crítico para a velocidade angular, ω c ,

tal que para ω 3   > ω c o movimento é estável e para ω   <   ω c há oscilação:

ω c = M g h ∙ I 12 I 3

Se o pião estiver girando com ω 3   > ω c e θ   =   0 , o movimento será estável. Mas à medida que o atrito diminui no topo, a velocidade angular crítica será eventualmente alcançada e a oscilação se estabelecerá. Esse é o caso do “pião adormecido”.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)