Examine o movimento do pião simétrico discutido na Seção 11.11 para o caso de o eixo de rotação ser vertical (isto é, se os eixos , coincidem). Demonstre que o movimento é estável ou instável dependendo da quantidade ser menor ou maior, do que a unidade. Desenhe o gráfico do potencial efetivo paro os dois casos e indique as características dessas curvas que determinam se o movimento é estável. Se o pião é mantido em giro na configuração estável, qual será o efeito à medida que o atrito reduz gradualmente o valor de ? (Este é o caso do "pião adormecido".)
Passo 1
Quando o movimento é vertical . Então:
E de acordo com o capítulo 11:
Se quisermos examinar o comportamento do sistema próximo a para determinar as condições para estabilidade, podemos usar os valores de , e para . Desta forma:
Passo 2
Mudando a variável para e reorganizando:
As questões relativas à estabilidade podem ser respondidas examinando esta expressão. Primeiro, notamos que para o movimento fisicamente real devemos ter . Agora, suponha que o pião está girando muito rapidamente, ou seja, que é grande. Então, o termo entre colchetes será negativo. Em um tal caso, a única maneira de manter a condição
é ter , ou seja, . Assim, o movimento em será estável enquanto:
Ou:
Passo 3
Suponha agora que o pião está girando com mas com suficientemente pequeno para que a condição no Passo X não seja atendida. Qualquer pequena perturbação longe de dará a um valor negativo e continuará a aumentar; ou seja, o movimento é instável. De fato, irá continuar até que atinja um valor que novamente torna os colchetes iguais a zero. Isto é um ponto de virada para o movimento.
A partir desta discussão é evidente que existe um valor crítico para a velocidade angular, ,
tal que para o movimento é estável e para há oscilação:
Se o pião estiver girando com e , o movimento será estável. Mas à medida que o atrito diminui no topo, a velocidade angular crítica será eventualmente alcançada e a oscilação se estabelecerá. Esse é o caso do “pião adormecido”.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)