No Exemplo 73.2, a solução complementar (parte transiente) foi omitida. Se efeitos transientes forem incluídos, quais são as condições apropriadas para movimento sobreamortecido, com amortecimento crítico e subamortecido? Encontre o deslocamento q(x, t) que ocorre quando o movimento subamortecido é incluído no Exemplo 13.2 (considere que o movimento é subamortecido para todos os modos normais).

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Da equação 13.49, temos:

β = D 2 ρ ;           ω 0 2 = s 2 π 2 τ ρ b

O termo de beta é a força resistiva, e a ômega é a restauradora. É subamortecido se:

ω 0 2 > β

Ou seja, se a restauração é maior que o amortecimento.

Igualmente:

β = ω 0 2                 c r i t i c a m e n t e   a m o r t e c i d o

β > ω 0 2                             s u p e r a m o r t e c i d o

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

A solução complementar para a solução de 13.48 para um movimento subamortecido pode ser escrito pela equação 3.40 é:

η s t = C s e - β t cos ⁡ ω 1 t - ϕ s

Onde ω 1 é a frequência ω 1 2 = ω 0 2 - β 2 , C s e ϕ 2 são constantes arbitrarias definidas pelas condições iniciais.

Passo 3

A solução completa para equação 13.48 é a soma da solução particular e solução complementar, assim:

η s t = C s e - β t cos ⁡ ω 1 t - ϕ s + 2 F 0 sin ⁡ s π 2 cos ⁡ ( ω t - δ s ρ b s 2 π 2 τ ρ b - ω 2 + D ρ ω 2

Onde δ s = tan - 1 ⁡ D ω ρ s 2 π 2 τ ρ b - ω 2

Da equação 13.40, temos:

q x , t = ∑ r η r t sin ⁡ r π x b

Assim, vamos substituir tudo e obter q?!

q x , t = ∑ r C s e - - D 2 ρ t cos ⁡ s 2 π 2 τ ρ b - D 2 4 ρ 2 t - ϕ s + 2 F 0 sin ⁡ s π 2 cos ⁡ ( ω t - δ s ρ b s 2 π 2 τ ρ b - ω 2 + D ρ ω 2 sin ⁡ r π x b

Resposta

q x , t = ∑ r C s e - - D 2 ρ t cos ⁡ s 2 π 2 τ ρ b - D 2 4 ρ 2 t - ϕ s + 2 F 0 sin ⁡ s π 2 cos ⁡ ( ω t - δ s ρ b s 2 π 2 τ ρ b - ω 2 + D ρ ω 2 sin ⁡ r π x b