Expresse o deslocamento x ( t ) e a velocidade v ( t ) do oscilador sobreamortecido em termos de funções hiperbólicas.

Passo 1

Mais uma questão, galera. Essa aqui trata-se de um algebrismo puro, ele só quer que pegamos as equações do oscilador sobreamortecido e escrevamos em termos de funções hiperbólicas. Paciência, né. 😐

Escrevendo a equação de movimento para o sistema sobreamortecido:

x t = e - β t A 1 e ω 2 t + A 2 e - ω 2 t

x ˙ t = e - β t - β A 1 e ω 2 t + A 2 e ω 2 t + A 1 ω 2 e ω 2 t - A 2 ω 2 e - ω 2 t

Onde, ω 2 = β 2 - ω 0 2 . As funções hiperbólicas, são:

cosh ⁡ y = e y + e - y 2 , sinh ⁡ e y - e - y 2

e y = cosh ⁡ y + sinh ⁡ y

e - y = cosh ⁡ y - sinh ⁡ y

Passo 2

Agora vamos relacionar essas expressões:

x t = cosh ⁡ β t - sinh ⁡ β t ⋅ A 1 + A 2 cosh ⁡ ω 2 t + A 1 - A 2 sinh ⁡ ω 2 t

x ˙ t = cosh ⁡ β t - sinh ⁡ β t A 1 ω 2 - A 1 β cosh ⁡ ω 2 t + sinh ⁡ ω 2 t - A 2 β + A 2 ω 2 cosh ⁡ ω 2 t - sinh ⁡ ω 2 t

FINISH, isso é tudo pessoal!!!

Resposta

x t = cosh ⁡ β t - sinh ⁡ β t ⋅ A 1 + A 2 cosh ⁡ ω 2 t + A 1 - A 2 sinh ⁡ ω 2 t

v ( t ) = cosh ⁡ β t - sinh ⁡ β t A 1 ω 2 - A 1 β cosh ⁡ ω 2 t + sinh ⁡ ω 2 t - A 2 β + A 2 ω 2 cosh ⁡ ω 2 t - sinh ⁡ ω 2 t