Na Figura 12.C, substitua L12 por um resistor e analise as oscilações.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

O esquema do problema apresentado, com o sentido adotado da aplicação da lei das malhas:

As equações do circuito de Kirchhoff, depois de diferenciar usando q ˙ = I , são:

L 1 I ˙ 1 + R I ˙ 1 - I ˙ 2 + I 1 C 1 = 0   e   L 2 I ˙ 2 + R ( I ˙ 2 - I ˙ 1 ) + I 2 C 2 = 0

Usando uma dependência de tempo harmônico para I 1 t   e   I 2 ( t ) , a equação encontrada é:

ω 2 L 1 - 1 C 1 - i ω R ω 2 L 2 - 1 C 2 - i ω R + ω 2 R 2 = 0

Desta expressão fica claro que as oscilações serão amortecidas porque ω terá uma parte imaginária (O resistor no circuito dissipa energia.) Para simplificar a análise, escolhemos o caso especial em que L1 = L2 = L e C1 = C2 = C. Então a equação se reduz a:

ω 2 L - 1 C - i ω R 2 + ω 2 R 2 = 0

Que pode ser resolvido como no Problema 12-6. Nós achamos:

ω 1 = ± 1 L C   e   ω 2 = i L R ± R 2 - L C

A solução geral para I1(t) é:

I 1 t = B 11 + e i 1 L C t + B 11 - e - i 1 L C t + e - R t L B 12 + e R 2 - L / C t L   + B 12 - e R 2 - L / C t L  

E da mesma forma para I2(t). As implicações desses resultados seguem de perto os argumentos apresentados no Problema 12-6.

O modo 1 é puramente oscilatório sem amortecimento. Como há um resistor no circuito, isso significa que I1 e I2 fluem em sentidos opostos nas duas partes do circuito e se cancelam em R. O modo 2 é o modo em que ambas as correntes fluem na mesma direção através de R e a energia é dissipada. Se R2 L/C, as correntes diminuirão monotonicamente sem oscilação.

Resposta

Ver passo a passo.