Enunciado

A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão - deformação para um aço-liga. O corpo de prova do qual ela foi obtida tinha diâmetro original de 13   m m e comprimento de referência de 50   m m . Se uma carga P = 20   k N for aplicada ao corpo de prova, determine o seu diâmetro de referência. Considere v = 0,4 .

Passo 1

Oláaaa, querido!

Então, ele diz que um corpo de prova está sofrendo uma carga de P = 20   k N . Ou seja, a força normal interna nele é essa.

Podemos supor que essa força tende a alongar o corpo de prova cilíndrico. Então se inicialmente ele tinha um comprimento de referência de L = 50   m m , o comprimento de referência com ação da carga sobre o corpo de prova vai ser maior.

Bem, quando uma carga tende a alongar um corpo de prova cilíndrico, o diâmetro desse corpo de prova vai diminuir.

Aí o enunciado quer saber o comprimento de referência do corpo de prova e o diâmetro quando estamos com a carga aplicada. Bora ver como achar isso!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão normal na haste. O enunciado já nos dá a carga axial P = 20   k N = 20   000   N e o diâmetro inicial da barra, logo, vamos substituir. Temos:

σ = P A σ = P π ∙ d A B 2 4

Substituindo:

σ = 20   000   N π 1 3   m m 2 4 σ = 150,679   M P a

Percebe que como a gente usou N e m m 2 , o resultado saiu em M P a 😊

Passo 3

Percebe que a tensão que a gente achou é menor que a tensão de escoamento, então ainda estamos no regime linear e podemos aplicar a lei de Hooke para determinar a deformação do comprimento ε causada pela tensão normal, temos:

σ = E ϵ → ϵ = σ E

A gente não temo o módulo de elasticidade, mas do diagrama de tensão – deformação podemos encontrar o módulo de elasticidade que é o coeficiente angular da reta desenhada no gráfico, assim temos

E = 400 M P a 0,002 = 200 G P a  

Substituindo isso e a tensão normal na lei de Hooke, a deformação fica:

ϵ l o n g = σ E

ϵ l o n g = 150,679   M P a 200   10 3   M P a ≈ 0,0007534   m m / m m

Passo 4

E assim, podemos determinar a mudança no comprimento do corpo de prova pela fórmula da deformação longitudinal. Temos:

ϵ l o n g = δ L δ = ϵ l o n g ∙ L δ = ( 0,0007534     m m / m m ) ( 5 0   m m ) δ = 0,037670   m m

Aí para saber o comprimento do corpo de prova com ação da carga, a gente soma esse alongamento ao comprimento inicial do corpo de prova:

L ' = L + δ

L ' = 50   m m + 0,037670   m m = 50,0377 m m

Passo 5

Falta achar a variação de diâmetro, e assim o diâmetro com ação da carga. Como ele deu o coeficiente de Poisson v p , podemos relacionar a deformação longitudinal ϵ l o n g (ao longo do comprimento) com a deformação axial ϵ a x i a l (mudança no diâmetro), através dessa expressão:

v p = - ϵ a x i a l ϵ l o n g

Já que temos a deformação longitudinal, vamos substituir aí e achar a radial:

0,4 = - ϵ a x i a l 0,0007534   m m / m m

ϵ a x i a l = - 0,00030136   m m / m m

Passo 6

E para que a gente quer essa deformação? Porque podemos usar o valor de ϵ a x i a l para encontrarmos a variação do diâmetro. Podemos escrever a deformação axial assim:

ϵ a x i a l = δ ' d

Onde δ ' é a variação de diâmetro. Vamos isolar essa bonita:

δ ' = ϵ a x i a l ⋅ d

Substituir o que a gente tem:

δ ' = - 0,00030136   m m m m ⋅ 13   m m

δ ' = - 0,003918 m m

Aí o diâmetro com ação da carga vai ser o diâmetro inicial d mais esse δ ' :

d ' = δ + d = 12,99608 m m

Resposta

L ' = 50,0377 m m

d ' = 12,99608 m m

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