Um foguete no espaço exterior em um campo gravitacional desprezível parte do repouso e acelera de forma uniforme em a até atingir a velocidade final v. A massa inicial do foguete é m0. Qual é o trabalho a ser realizado pelo motor do foguete?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

Começando pela nossa definição de trabalho:

W = ∫ F d x = ∫ d p d t d x = ∫ v d p

Sabemos que para aceleração constante devemos ter v = at (velocidade inicial zero). Da Equação (9.152) isso significa:

m = m 0 e - a t / u

Podemos então calcular dp:

d p = d m v = d m a t = m a   d t + a t   d m = m 0 a e - a t / u 1 - a t u d t

Isso torna nossa expressão para o trabalho feito no foguete:

W r = m 0 a u ∫ 0 t a t u - a t e - a t / u d t

O trabalho realizado na exaustão, por outro lado, é dado com v → ( v - u ) e d p → d m e x a u s t ã o ( v - u ) , de modo que:

W e = m 0 a u ∫ 0 t a t - u 2 e - a t / u d t

O limite superior das integrais é o tempo de esgotamento, que podemos tomar como sendo a velocidade final dividida pela aceleração. O trabalho total realizado pelos motores de foguete é a soma dessas duas quantidades, de modo que:

W = m 0 a u ∫ 0 v / a ( u 2 - u a t ) e - a t / u d t = m 0 u 2 ∫ 0 v / u 1 - x e - x d x

Onde a substituição óbvia foi feita na última expressão. Ao calcular a integral encontramos:

W = m 0 u v e - v / u = m u v

Onde m é a massa do foguete depois que seus motores foram desligados e v é sua velocidade final.

Resposta

Ver passo a passo.