Um foguete extremamente bem construído tem uma razão de massa m0/m de 10. Um novo combustível é desenvolvido com uma velocidade de exaustão de 4.500 m/s. O combustível queima a uma taxa constante durante 300 s. Calcule a velocidade máxima desse foguete de um estágio, supondo aceleração da gravidade constante. Se a velocidade de escape de uma partícula da Terra é 11,3 km/s, é possível construir um foguete similar de um estágio e com a mesma razão de massa e velocidade de exaustão para chegar até a Lua?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

A equação da velocidade 9.165 nos dá:

v t = - g t + u l n   m 0 m t

Onde:

m t = m 0 - α t ;   a   t a x a   d e   q u e i m a   d e   α = 9 m 0 10 τ ; o   t e m p o   d e   q u e i m a   τ = 300   s

e   a   v e l o c i d a d e   d e   e x a u s t ã o   u = 4500   m / s

Essas equações são boas apenas de t = 0 a t = τ. Primeiro, vamos verificar se o foguete realmente decola em t = 0.

O impulso:

α u = 9 u m 0 10 τ = 13,5 m s 2 ∙ m 0 > m 0 g ,   q u e   é   r e q u e r i d o

Para encontrar a velocidade máxima do foguete, precisamos verificá-la nos tempos t = 0 e t = τ, e também verificar a presença de quaisquer extremos na região 0

v τ = - g τ + u l n   10 = 7400   m / s

E calculamos:

d v d t = - g + α u m t = g α u m t g - 1 > 0

A desigualdade segue desde que:

α u > m 0 g > m t g

Portanto, a velocidade máxima ocorre em t = τ. Onde:

v = 7400   m / s

Um foguete similar de estágio único não pode alcançar a lua, pois:

v t < u l n   m 0 m f i n a l = u l n   10 ≅ 10,4   m / s

Que é menor que a velocidade de escape e independente da taxa de queima de combustível.

Resposta

Ver passo a passo.