Um foguete parte do repouso no espaço livre por meio da emissão de massa. Em qual fração da massa inicial a quantidade de movimento terá um valor máximo?

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nessa questão temos um foguete que emite massa pra aumentar sua velocidade. Queremos saber pra qual fração da sua massa inicial vamos ter a quantidade de movimento ou momento em um valor máximo.

Passo 2

A primeira parte do problema é ver a dependência da velocidade, que pode ser descrita por

v = v 0 + u ln ⁡ m 0 m

Como o foguete saiu do repouso, temos que v 0 = 0 . Então a velocidade vai ser

v = u l n m 0 m

Sabemos que o momento é

p = m v = m u l n ( m 0 / m )

Para maximizar esse momento, fazemos d p d m = 0 . Fazendo as contas, temos

u ln ⁡ m 0 m - 1 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos o valor

ln ⁡ m 0 m = 1

m m 0 = e - 1

Para ver se é um máximo, calculamos a derivada segunda de p em relação a m , o que nos dá

d 2 p d m 2 = - u m

Substituindo o valor que obtivemos na derivada primeira, temos

d 2 p d m 2 = - u m 0 e

E como podemos ver, esse valor é negativo, o que nos dá um máximo. Então a fração da massa que maximiza o momento é

m m 0 = e - 1

Resposta

A fração da massa que maximiza o momento é m m 0 = e - 1 .

Mais um problema feito. Bora pra mais um?