Enunciado

Uma força axial excêntrica P é aplicada, como mostrada, a uma barra de aço de 75 m m x 120 m m   de seção transversal. As deformações em A e B foram medidas e acusaram os seguintes valores:

ε A = + 600   μ             e               ε B = + 450   μ            

Sabendo-se que E = 200   G P a , determinar:

  1. A intensidade de P ;
  2. A distancia a da borda superior da barra até a linha de ação de   P .

Passo 1

Para essa questão temos dois itens a serem resolvidos, primeiro determinar a força que causa essas deformações nos pontos A e B e o respectivo braço de alavanca que causaria essas deformações.

Para isso temos que saber o seguinte, se temos deformações, temos como calcular tensões pela seguinte fórmula:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

Mas pensa no seguinte, se queremos determinar as cargas que agem na seção, e temos as tensões, podemos pensar da seguinte forma.

  • As tensões vão ser causadas pela carga axial que age na nossa seção, ou seja, a carga P espalhada pela área da seção,
  • E como essa carga P tem um braço de alavanca, ela também vai causar um momento fletor, que também vai contribuir na nossa tensão.

Sendo assim, também podemos escrever as nossas tensões pela seguinte equação.

σ A = P A - M y A I

σ B = P A - M y B I

Tendo essas duas relações, precisamos agora começar a determinar o que temos, sendo assim podemos anotar no próximo passo.

Passo 2

  • Dados do enunciado
  • Pelos dados do enunciado temos que:

    ε A = + 600   μ = 600   .   10 - 6 m m         e               ε B = + 450   μ = + 450   .   10 - 6 m m

    E = 200   G P a = 200000   M P a = 200   .   10 9 N m 2  

  • Dados da seção
  • Sabemos que a nossa seção é dada com as seguintes dimensões.

    A área da seção vai ser feita da seguinte maneira:

    A = 75   x   120 = 9000   m m 2 = 9   .   10 - 3   m 2

    E o momento de inércia é calculado pela seguinte equação:

    I = B H 3 12 = 75   .   120 3 12 = 10800000   m m 4 = 1,08   .   10 - 5   m 5

  • Dados de Y para determinar o cálculo das tensões em A e B.

Sendo assim teremos que:

Calculando as tensões pela deformação, teremos que:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

σ A = 200   .   10 9 600   .   10 - 6 = 120   .   10 6   P a

σ B = 200   .   10 9 450   .   10 - 6 = 90   .   10 6   P a

Analisando o outro grupo de fórmulas, temos que:

σ A = P A - M y A I

σ B = P A - M y B I

Subtraindo uma equação da outra teremos que:

σ A - σ B = P A - M y A I - P A + M y B I = - M y A I + M y B I = - M ( y A - y B ) I

Isolando o momento fletor, teremos que:

σ A - σ B = - M ( y A - y B ) I

M = - I σ A - σ B y A - y B = - 1,08   .   10 - 5 120   .   10 6 - 90   .   10 6 0,020 - - 0,040 = - 5400   N m

Mas do que adiante determinar o momento se queremos a carga aplicada? Ai basta usarmos o nosso sistema de equações de novo. Mas multiplicamos a primeira a equação por y B   e a segunda por y A , sendo assim teremos que:

σ A y B = P A y B - M y A I y B

σ B y A = P A y A - M y B I y A

Subtraindo uma equação da outra, teremos que:

σ B y A - σ A y B = P A y A - M y B I y A - P A y B + M y A I y B

σ B y A - σ A y B = P A y A - y B

Como o objetivo é determinar a carga, teremos que:

P = σ B y A - σ A y B A y A - y B

P = 90   .   10 6   .     0,020 - 120   .   10 6   .     ( - 0,040 ) 9   .   10 - 3 0,020 - - 0,040 = 990000   N = 990   k N

E assim resolvemos o nosso item A, que pedia exatamente a carga que foi aplicada, e como o item B pede a distancia que foi aplicada, basta lembrarmos da seguinte fórmula:

M = - P d

O momento já determinamos, sendo assim teremos que:

- 5400   [ N m ] = - 990000 [ m ]   d

d = 5400 990000 = 0,0055 m = 5,5   m m

Como a distancia “a” é de cima para baixo, precisamos fazer uma diferença para determinarmos a distância, sendo assim teremos que:

a = H 2 - d = 120 2 - 5,5 = 54,5   m m

Resposta

  1. P = 990   k N
  2. 54,5   m m
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Sabendo-se que a carga de 120k N pode ser aplicada a qualquer ponto da circunferência de raio 40 m m mostrada, determinar:A correspondente tensão em A ,BeD
Para o carregamento mostrado, determinar:b) o ponto onde a linha neutra intercepta a linha ABD
Para o carregamento mostrado, determinar:A tensão nos pontos A e B;
Resolver o P r o b .4.156 , considerando que a intensidade a força aplicada em G é aumentada de1100N para 1780 N .A tensão nos pontos A e B;
Uma carga axial P é aplicada como mostrado a um cirto perfil estrutural, em forma de T . Determinar (b) o ponto correspondente onde a linha neutra intercepta a linha A B . (Dados: A = 4450m m 2 ; I y