Enunciado

Uma gotícula de água caindo na atmosfera é esférica. Suponha que ela atravesse uma nuvem e adquira uma massa a uma taxa igual a kA, onde k é uma constante (> 0) e A é a área de sua seção transversal. Considere uma gotícula de raio inicial r0 que entra em uma nuvem com velocidade v0. Suponha que nenhuma força resistiva existe e demonstre:

  1. Que o raio aumenta linearmente com o tempo.
  2. Que, se r0 for tão pequeno que possa ser desprezado, a velocidade aumentará linearmente com o tempo dentro da nuvem.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

Item a

Como a taxa de variação da massa da gota é proporcional à área de sua seção transversal, temos:

d m d t = k π r 2

Se a densidade da gota é ρ:

m = 4 π 3 ρ r 3 = > d m d t = d m d r d r d t = 4 π ρ r 2 d r d t = π k r 2

Logo:

d r d t = k 4 ρ = > d r = k 4 ρ d t

Integrando ambos os lados:

r - r 0 = k 4 ρ t - 0 = > r = r 0 + k 4 ρ t

Resposta

Ver passo a passo.