Uma gotícula de água caindo na atmosfera é esférica. Suponha que ela atravesse uma nuvem e adquira uma massa a uma taxa igual a kA, onde k é uma constante (> 0) e A é a área de sua seção transversal. Considere uma gotícula de raio inicial r0 que entra em uma nuvem com velocidade v0. Suponha que nenhuma força resistiva existe e demonstre:

  1. Que o raio aumenta linearmente com o tempo.
  2. Que, se r0 for tão pequeno que possa ser desprezado, a velocidade aumentará linearmente com o tempo dentro da nuvem.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

Item b

A massa muda com o tempo, então a equação do movimento é:

F = d d t m v = m d v d t + v d m d t = m g

Substituindo a taxa de variação da massa e a densidade da gota, usadas no item a, temos:

4 π 3 ρ r 3 d v d t + v k π r 2 = 4 π 3 ρ r 3 g = > d v d t + 3 k 4 ρ r v = g = > d v d t + 3 k 4 ρ v r 0 + k 4 ρ t = g

Se nós definirmos:

A = 3 k 4 ρ   e   B = k 4 ρ

Reescrevemos:

d v d t + A v r 0 + B t = g

E reconhecemos uma forma padrão para uma equação diferencial de primeira ordem:

d v d t + P t v = Q ( t )

Que tem solução:

v t = e - ∫ P ( t ) d t ∫ e ∫ P t d t Q t d t + c o n s t a n t e

Comparando, identificamos que:

P t = A r 0 + B t   e   Q t = g

E a solução que desejamos fica da forma:

∫ P t d t = ∫ A r 0 + B t d t = A B ln ⁡ r 0 + B t = ln ⁡ r 0 + B t 3

Pois A/B = 3.

Então:

v t = r 0 + B t - 3 ∫ r 0 + B t 3 g d t + c o n s t a n t e = r 0 + B t - 3 g 4 B r 0 + B t 4 + C

A constante C pode ser obtida pela condição v(t = 0)= v0:

v 0 = 1 r 0 3 g 4 B r 0 4 + C = > C = v 0 r 0 3 - g 4 B r 0 4

Temos então:

v t = 1 r 0 + B t 3 g 4 B r 0 + B t 4 + v 0 r 0 3 - g 4 B r 0 4 = 1 B t 3 g 4 B B t 4 + 0 r 0 3

Onde 0 r 0 3 significa “termos de ordem r 0 3 e superiores”. Se r 0 é suficientemente pequeno para que possamos desprezar esses termos, temos:

v ( t ) ∝ t

como requerido.

Resposta

Ver passo a passo.