Uma gotícula de água caindo na atmosfera é esférica. Suponha que ela atravesse uma nuvem e adquira uma massa a uma taxa igual a kA, onde k é uma constante (> 0) e A é a área de sua seção transversal. Considere uma gotícula de raio inicial r0 que entra em uma nuvem com velocidade v0. Suponha que nenhuma força resistiva existe e demonstre:
- Que o raio aumenta linearmente com o tempo.
- Que, se r0 for tão pequeno que possa ser desprezado, a velocidade aumentará linearmente com o tempo dentro da nuvem.
Passo 1
E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.
Item b
A massa muda com o tempo, então a equação do movimento é:
Substituindo a taxa de variação da massa e a densidade da gota, usadas no item a, temos:
Se nós definirmos:
Reescrevemos:
E reconhecemos uma forma padrão para uma equação diferencial de primeira ordem:
Que tem solução:
Comparando, identificamos que:
E a solução que desejamos fica da forma:
Pois A/B = 3.
Então:
A constante C pode ser obtida pela condição v(t = 0)= v0:
Temos então:
Onde significa “termos de ordem e superiores”. Se é suficientemente pequeno para que possamos desprezar esses termos, temos:
como requerido.
Resposta
Ver passo a passo.