Uma haste delgada dobrada na forma mostrada gira em torno de a linha fixa CD a uma taxa angular constante. Determine a velocidade e a aceleração do ponto A.

Passo 1

E ai meus queridos? Tudo certinho?

Então vem comigo que no caminho eu explicooo

Partindo da geometria da figura, a velocidade angular é ao longo da direção inclinada. O vetor posição do ponto A está abaixo. R a = d i + j l - h k . Como não há velocidade angular ao longo dos eixos x e y, portanto, a velocidade angular ao longo de CD se torna a seguinte, onde K é uma vetor unitário ao longo do eixo CD. O valor para K está abaixo. Formando a magnitude e o vetor unitário determinando o vetor velocidade angular. ω y = ω x = 0 = ω ⋅ k ,   k = - sin ⁡ θ i + cos ⁡ θ k ,   ω c d = ω ⋅ ( - sin ⁡ θ i + cos ⁡ θ k ) .

Passo 2

A velocidade linear do ponto é dada pelo produto vetorial do vetor velocidade angular pelo vetor posição daquele ponto. Portanto, a velocidade linear do ponto A é dada como segue

v = ω c d × R a

= ω ⋅ - sin ⁡ θ i + cos ⁡ θ k × d i + l j - h k

= ω ⋅ [ - l ⋅ cos ⁡ θ ) i ( h ⋅ sin ⁡ θ - d ⋅ cos ⁡ θ ) j + ( - l ⋅ ω ⋅ sin ⁡ θ ) k  

Portanto, a velocidade do ponto A é

ω ⋅ [ - l ⋅ cos ⁡ θ ) i + ( d ⋅ cos ⁡ θ - h ⋅ sin ⁡ θ ) j - ( l ⋅ ω ⋅ sin ⁡ θ ) k  

Passo 3

Determinando a aceleração do ponto A

Obtendo a aceleração do ponto A derivando a velocidade linear em relação ao tempo

α = v ˙

α = ω ˙ × R a + ω × R a

Porém, a velocidade angular ao longo do eixo CD, sendo constante e sua derivada é zero.

Portanto,

ω ˙ = 0

Passo 4

Portando, a aceleração do ponto A fica da seguinte maneira:

α = ω × v

= ω ⋅ - sin ⁡ θ i + cos ⁡ θ k × ω ⋅ [ - l ⋅ cos ⁡ θ ) i + ( h ⋅ sin ⁡ θ - d ⋅ cos ⁡ θ ) j + ( - l ⋅ ω ⋅ sin ⁡ θ ) k  

= ω 2 ⋅ - sin ⁡ θ i + cos ⁡ θ k × [ - l ⋅ cos ⁡ θ ) i + ( h ⋅ sin ⁡ θ - d ⋅ cos ⁡ θ ) j + ( - l ⋅ ω ⋅ sin ⁡ θ ) k  

= ω 2 ⋅ [ h ⋅ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - d ⋅ cos 2 ⁡ \ t e h t a   ) i - l j + ( h ⋅ sin 2 ⁡ θ - d ⋅ cos ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ ) k

Portanto, a aceleração do ponto A é

ω 2 ⋅ [ h ⋅ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - d ⋅ cos 2 ⁡ \ t e h t a   ) i - l j + ( h ⋅ sin 2 ⁡ θ - d ⋅ cos ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ ) k

Resposta

Portanto, a velocidade do ponto A é

ω ⋅ [ - l ⋅ cos ⁡ θ ) i + ( d ⋅ cos ⁡ θ - h ⋅ sin ⁡ θ ) j - ( l ⋅ ω ⋅ sin ⁡ θ ) k  

Portanto, a aceleração do ponto A é

ω 2 ⋅ [ h ⋅ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - d ⋅ cos 2 ⁡ \ t e h t a   ) i - l j + ( h ⋅ sin 2 ⁡ θ - d ⋅ cos ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ ) k