A haste dobrada tem uma massa de 3 kg/m. Determine o momento de inércia da barra em relação ao eixo O-a.

Passo 1

A haste dobrada é subdividida em três segmentos e a localização do centro de massa para cada segmento é indicada na Fig. a. A massa de cada segmento é m 1 = 3 ( 1 ) = 3   k g , m 2 = 3 ( 0.5 ) = 1.5   k g e m 3 = 3 ( 0.3 ) = 0.9   k g .

I x x = 1 12 ( 3 ) 1 2 + 3 0.5 2 + 0 + 1.5 1 2 + 1 12 ( 0.9 ) 0.3 2 + 0.9 0.15 2 + 1 2 = 3.427 k g ⋅ m 2

I y y = 0 + 1 12 ( 1.5 ) 0.5 2 + 1.5 0.25 2 + 1 12 ( 0.9 ) 0.3 2 + 0.9 0.15 2 + 0.5 2

= 0.377 k g ⋅ m 2

I z z = 1 12 ( 3 ) 1 2 + 3 0.5 2 + 1 12 ( 1.5 ) 0.5 2 + 1.5 1 2 + 0.25 2 + 0 + 0.9 1 2 + 0.5 2

= 3.75 k g ⋅ m 2

I x y = [ 0 + 0 ] + [ 0 + 1.5 ( 0.25 ) ( - 1 ) ] + [ 0 + 0.9 ( 0.5 ) ( - 1 ) ] = - 0.825   k g ⋅ m 2 I y z = [ 0 + 0 ] + [ 0 + 0 ] + [ 0 + 0.9 ( - 1 ) ( 0.15 ) ] = - 0.135   k g ⋅ m 2 I z x = [ 0 + 0 ] + [ 0 + 0 ] + [ 0 + 0.9 ( 0.15 ) ( 0.5 ) ] = 0.0675   k g ⋅ m 2

Passo 2

O vetor unitário que define a direção do eixo   O a   é

U O a = 0.5 i - 1 j + 0.3 k 0.5 2 + ( - 1 ) 2 + 0.3 2 = 0.5 1.34 i - 1 1.34 j + 0.3 1.34 k

Por isso u x = 0.5 1.34           u y = - 1 1.34             u z = 0.3 1.34

Passo 3

Então

I O a = I x x u x 2 + I y y u y 2 + I z z u z 2 - 2 I x y u x u y - 2 I y z u y u z - 2 I z x u z u x

= 3.427 0.5 1.34 2 + 0.377 - 1 1.34 2 + 3.75 0.3 1.34 2 - 2 ( - 0.825 ) 0.5 1.34 - 1 1.34

- 2 ( - 0.135 ) - 1 1.34 0.3 1.34 - 2 ( 0.0675 ) 0.3 1.34 0.5 1.34

= 0.4813 k g ⋅ m 2 = 0.481 k g ⋅ m 2

Resposta

I O a = 0.481 k g ⋅ m 2