Enunciado

Localize o centroide bar x da área.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Para determinarmos o centroide bar x da área da área dada, precisamos utilizar a seguinte relação. Ela é dada por:

bar x = (int_A overset(tilde)(x) d A)/(int_A d A)

Onde A é a área abaixo do gráfico. Além disso, o elemento infinitesimal neste caso é horizontal de altura d y e largura x , logo sua área é d A = x d y e seu centroide está em overset(tilde)(x) = (x)/(2) .

Como y = a x^2 , temos que:

x^2 = (y)/(a)

x = sqrt((y)/(a))

Precisamos ainda determinar os limites de integração. Como a gente quer encontrar o centroide em x , vamos integrar em y cujos limites de integração são:

a = 0 b = h

Ou seja, a posição mínima e a posição máxima no gráfico em y .

Passo 2

Com isso, substituir os limites de integração na equação de bar x . Porém, vamos fazer essas integrais separadamente. Primeiro, para o numerador, temos:

int_A overset(tilde)(x) d A = int_0^h (x)/(2) x d y = (1)/(2) int_0^b (y)/(a) d y

Integrando:

= (h^2)/(4 a)

E para o denominador, temos:

int_A d A = int_0^h x d y = int_0^h sqrt((y)/(a)) d y = (2 h^((3)/(2)))/(3 a^((1)/(2)))

Com isso, a posição do centroide pode ser encontrada substituindo esses valores na equação de bar x :

bar x = ((h^2)/(4 a))/((2 h^((3)/(2)))/(3 a^((1)/(2)))) = (h^2)/(4 a) * (3 a^((1)/(2)))/(2 h^((3)/(2)))

bar x = (3)/(8) sqrt((h)/(a))

Pelo desenho nós temos que quando x = b , y = h :

y (b) = h

Portanto, substituindo na fórmula y = a x^2 , temos que:

h = a b^2

Finalmente:

overset(-)(x) = (3)/(8) sqrt((a b^2)/(a))

overset(-)(x) = (3)/(8) b

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

bar x = (3)/(8) b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a área o centroide ( x - ,y - ) da área.
Determine a massa e localize o centro de massa ( x - ,y - ) da barra uniforme. A massa por unidade de comprimento da barra é 3 kg/m.
Determine a localização ( overset(-)(x) , overset(-)(y) ) do centroide do fio.
Localize o centroide overset(-)(x) da área sombreada.
Localize o centroide overset(-)(x) da área.