Idem para os arcos representados que se seguem:

Passo 1

A maior dificuldade nessa questão é determinar a força equivalente a força uniformemente distribuída. Na verdade, a força equivalente nesta questão pode ser obtida da mesma forma que a usual. Para mostrar isso, vamos utilizar a fórmula da força resultante para uma força p ( x ) = p de x = 0 até x = 2 r s e n ( varphi // 2 ) . Assim, a resultante dessa força é

R = int_0^(2 r s e n ( varphi // 2 )) p ( x ) d x = p * int_0^(2 r s e n ( varphi // 2 )) d x = 2 r p s e n ( varphi // 2 )

atuando no ponto

x = (int_0^(2 r s e n ( varphi // 2 )) p ( x ) x d x)/(int_0^(2 r s e n ( varphi // 2 )) p ( x ) d x) = (int_0^(2 r s e n ( varphi // 2 )) x d x)/(int_0^(2 r s e n ( varphi // 2 )) d x) = (x^2 // 2 |_0^(2 r s e n ( varphi // 2 )))/(x |_0^(2 r s e n ( varphi // 2 ))) = (( 2 r s e n ( varphi // 2 ) )^2 // 2)/(( 2 r s e n ( varphi // 2 ) )^()) = (2 r s e n ( varphi // 2 ))/(2) = r s e n ( varphi // 2 )

que é justamente o ponto central do arco.

No apoio A, temos as reações horizontal, vertical e de momento. Logo, temos três equações para três incógnitas e o sistema é determinado.

Passo 2

Agora, a próxima coisa a se fazer é determinar como as reações horizontal e vertical são projetadas nos nossos eixos. O segredo aqui é notar que a reação vertical faz exatamente um ângulo varphi // 2 com o eixo x . Então,

vec R_A = R_A c o s ( varphi // 2 ) hat i + R_A s e n ( varphi // 2 ) hat j

Por outro lado, a reação horizontal faz um ângulo de pi // 2 - varphi // 2 . Assim,

vec H_A = H_A c o s ( pi // 2 - varphi // 2 ) hat i - H_A s e n ( pi // 2 - varphi // 2 ) hat j = H_A s e n ( varphi // 2 ) hat i - H_A c o s ( varphi // 2 ) hat j

Passo 3

Através da equação de equilíbrio dos momentos, obtemos a reação de momento:

sum_()^() M = M_R^A - 2 r p s e n ( varphi // 2 ) * r s e n ( varphi // 2 ) = 0 => M_R^A = r^2 p ( 1 - c o s varphi )

onde utilizamos a relação trigonométrica s e n^2 ( varphi // 2 ) = ( 1 - c o s varphi ) // 2 . A partir das demais equações de equilíbrio, obtemos

sum_()^() F_X = R_A c o s ( varphi // 2 ) + H_A s e n ( varphi // 2 ) = 0 => R_A = - H_A t a n ( varphi // 2 )

sum_()^() F_Y = R_A s e n ( varphi // 2 ) - H_A c o s ( varphi // 2 ) - 2 r p s e n ( varphi // 2 ) = 0

=> ( - H_A t a n ( varphi // 2 ) ) s e n ( varphi // 2 ) - H_A c o s ( varphi // 2 ) = 2 r p s e n ( varphi // 2 )

=> - H_A [ (s e n ( varphi // 2 ))/(c o s ( varphi // 2 )) s e n ( varphi // 2 ) + c o s ( varphi // 2 ) ] = 2 r p s e n ( varphi // 2 )

=> - (H_A)/(c o s ( varphi // 2 )) [ s e n^2 ( varphi // 2 ) + c o s^2 ( varphi // 2 ) ] = - (H_A)/(c o s ( varphi // 2 )) = 2 r p s e n ( varphi // 2 )

=> H_A = - 2 r p s e n ( varphi // 2 ) c o s ( varphi // 2 ) = - r p s e n varphi

onde utilizamos a relação trigonométrica s e n varphi = 2 s e n ( varphi // 2 ) c o s ( varphi // 2 ) . O sinal negativo indica que H_A aponta na direção oposta ao que arbitramos anteriormente.

Agora, podemos encontrar R_A

R_A = - H_A t a n ( varphi // 2 ) = - (s e n ( varphi // 2 ))/(c o s ( varphi // 2 )) * ( - 2 r p s e n ( varphi // 2 ) c o s ( varphi // 2 ) ) = 2 r p s e n^2 ( varphi // 2 )

R_A = r p ( 1 - c o s varphi )

onde, novamente, utilizamos a relação trigonométrica s e n^2 ( varphi // 2 ) = ( 1 - c o s varphi ) // 2 .

Resposta

M_R^A = r^2 p ( 1 - c o s varphi )

H_A = - r p s e n varphi

R_A = r p ( 1 - c o s varphi )