Enunciado

Localize o centroide da área composta.

Passo 1

Cara, queremos o centroide dessa figura.

Uma coisa importante é que a figura é simétrica em relação a x , então a gente já pode dizer que a coordenada y do centroide é zero, e focar só em achar a coordenada x .

overset(-)(y) = 0

Então, galerinha, pega o bizu! Nessas questões que envolvem buracos, a gente vai fazer o seguinte: procede normalmente! A única coisa que vai mudar é que o buraco vai entrar na conta como se tivesse área negativa! Até que faz sentido, né? Show!

Vamos usar nossa fórmulinha

overset(-)(x) = (sum A_j overset(-)(x_j))/(sum A_j)

Aqui a gente vai ter que usar também que o centro de massa de um semi circulo está a uma distância 4 r // 3 pi , como já vimos na teoria.

Passo 2

Temos dois semicírculos. O maior de r = r_0 e menos r = r_i

Para o maior, a área vai ser

A_1 = (pi r_o^2)/(2)

E a coordenada do centroide vai distar 4 r // 3 pi da origem

overset(-)(x)_1 = (4 r_0)/(3 pi)

Para o círculo menor, vamos dizer que área é negativa, porque na verdade ele é um buraco na nossa seção, então fica

A_2 = - (pi r_i^2)/(2)

E a coordenada do centroide fica parecida, só muda que r = r_i :

overset(-)(x)_2 = (4 r_i)/(3 pi)

Passo 3

Então vai ficar assim na formula do centroide:

overset(-)(x) = (sum overset(-)(x) A)/(sum A) = ((4 r_0)/(3 pi) ((pi r_0^2)/(2)) + (4 r_i)/(3 pi) (- (pi r_i^2)/(2)))/((pi r_0^2)/(2) - (pi r_i^2)/(2))

Cortando o que tem que cortar e dando uma boa arrumada na casa, vamos chegar no nosso resultado final:

overset(-)(x) = (((2 r_0^3)/(3) - (2 r_i^3)/(3)))/(pi r_0^2 - pi r_i^2)

overset(-)(x) = (4 (r_0^3 - r_i^3))/(3 pi (r_0^2 - r_i^2))

Resposta

overset(-)(x) = (4 (r_0^3 - r_i^3))/(3 pi (r_0^2 - r_i^2))

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