Lorde Rayleigh utilizou a Equação

x ¨ - a - b x ˙ 2 x ˙ + ω 0 2 x = 0

em sua discussão sobre os efeitos não lineares em fenômenos acústicos. Mostre que, ao diferenciar esta Equação em relação ao tempo e ao fazer a substituição, y = y 0 3 b / a x ˙ resulta na Equação de van der Pol:

y ¨ - a y 0 2 y 0 2 - y 2 y ˙ + ω 0 2 y = 0

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações não lineares e caos.

A diferenciação da equação de Rayleigh acima produz:

x ⃛ - a - 3 b x ˙ 2 x ¨ + ω 0 2 x ˙ = 0

A substituição indicada:

y = y 0 3 b a x ˙

Resulta em:

x ˙ = a 3 b y y 0 = > x ¨ = a 3 b y ˙ y 0   e   x ⃛ = a 3 b y ¨ y 0

Quando essas expressões são substituídas na equação de Rayleigh diferenciada, encontramos:

a 3 b y ¨ y 0 - a - 3 b a 3 b y y 0 2 a 3 b y ˙ y 0 + ω 0 2 a 3 b y y 0 = 0

= > a 3 b 1 y 0 y ¨ - a - a y 2 y 0 2 y ˙ + ω 0 2 y = 0 = > y ¨ - a y 0 2 y 0 2 - y 2 y ˙ + ω 0 2 y = 0

Resposta

Ver passo a passo.