Uma massa M se move horizontalmente ao longo de um trilho liso. Um pêndulo está pendurado de M com uma haste sem peso e massa m, em sua extremidade. Encontre as frequências e descreva os modos normais.

Passo 1

x 1 = x + b s e n θ ;     x 1 ˙ = x ˙ + b θ ˙ c o s θ

y = b - b c o s θ ;     y 1 ˙ = b θ ˙ s e n θ

Portanto:

T = 1 2 M x ˙ 2 + 1 2 m ( x 1 2 ˙ + y 1 2 ˙ )

T = 1 2 M x ˙ 2 + 1 2 m x 2 + b 2 θ 2 ˙ + 2 b x ˙ θ ˙ c o s θ

U = m g y 1 = m g b 1 - c o s θ

Para pequenos θ , cos ⁡ θ ≅ 1 - θ 2 2 . Substituindo:

T = 1 2 ( M + m ) x ˙ 2 + 1 2 m ( b 2 θ 2 ˙ + 2 b x ˙ θ ˙ )

U = m g b 2 θ ²

Passo 2

Portanto:

Devemos resolver:

Que nos dá:

Passo 3

Substituindo na equação, temos:

Portanto as equações:

Se tornam:

Passo 4

Resolvendo:

n 1 ocorre quando n 2 = 0   o u   θ = 0

n 2 ocorre quando n 1 = 0   o u   x = - b m m + M θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)