Uma massa pontual m desliza sem atrito sobre uma mesa horizontal na extremidade de uma mola de massa desprezível com comprimento natural a e constante de mola k , como mostrado na Figura 3.C. A mola é presa na mesa de modo a girar livremente sem atrito. A força líquida sobre a massa é a força central F r = - k ( r - a ) . (a)Determine e desenhe a energia potencial U ( r ) e o potencial efetivo U e f f ( r ) . (b) Qual velocidade angular ω 0 é necessária para uma órbita circular com raio r 0 ? (c) Derive a frequência de oscilações pequenas ω em torno da órbita circular com raio r 0 . Expresse suas respostas para (b) e (c) em termos de k , m , r 0 e a .

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Primeiramente temos que dado que a força resultante sobre a massa é uma força central:

F r = - k r - a

Portanto, a energia potencial é:

U r = - ∫ F r d r = 1 2 k r - a 2

Onde em um campo de força central o potencial efetivo é dado por:

U e f f = U r + l 2 2 m r 2

Passo 2

Letra (b)

Para que a massa permaneça em uma órbita circular, consideramos o sistema em equilíbrio, de modo que:

k r 0 - a = m ω 0 2 r 0

Resolvendo para a frequência angular ω 0

ω 0 = k r 0 - a m r 0

Passo 3

Letra (c)

Para uma órbita circular de raio r 0 considerando oscilações muito pequenas, podemos fazer a seguinte aproximação usando a série de Taylor:

V ( r ) ≈ k ( r - r 0 ) 2

Portanto k = 3 m ω 0 2 , por substituição temos:

ω = k m = 3 ω 0

E assim finalizamos mais uma questão!

Resposta

Letra (a)

U e f f = U r + l 2 2 m r 2

Letra (b)

ω 0 = k r 0 - a m r 0

Letra (c)

ω = k m = 3 ω 0