Em um modelo de foguete típico (Estes Alpha III), o motor Estes C6 de combustível sólido fornece empuxo total de 8,5 N s. Suponha que a massa total do foguete no lançamento seja 54 g e que ele tenha um motor com massa 20 g que queima combustível uniformemente durante 1,5 s. O diâmetro do foguete é 24 mm. Suponha taxa de queima constante da massa do propelente (11 g), velocidade de exaustão do foguete de 800 m/s, ascensão vertical e coeficiente de arrasto cw = 0,75. Determine:

  1. A velocidade e altitude ao final da queima do motor
  2. Altura máxima atingida e tempo no qual ela ocorre
  3. Aceleração máxima
  4. Tempo total de vôo
  5. Velocidade no impacto com o solo.

Elabore um gráfico da altura e velocidade versus tempo. Para fins de simplificação e pelo fato de a massa de propelente ser apenas 20% da massa total, suponha massa constante durante a queima do foguete.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

Item c

A aceleração no processo de queima é:

a t = d v d t = u α - m 0 g m 0 cosh - 2 ⁡ t K u α - m 0 g m 0 2

Evidentemente, a aceleração é máxima quando t = 0 e:

a m a x = u α - m 0 g m 0 ≅ 95,4   m / s 2

Passo 2

Item d

No processo de queda, a equação do movimento é:

m 0 d v d t = m 0 g - K v 2

Com a condição inicial t = tmax, v = 0, encontramos t ≥ tmax:

v t = - m 0 g K t g h t - t m a x K g m 0

(v(t) é negativo para t ≥ tmax, porque então o foguete cai).

A altura do foguete é:

h = h m a x + ∫ t m a x t v t d t = h m a x - m 0 K ln ⁡ cosh ⁡ t - t m a x K g m 0

Para encontrar o tempo total de vôo, definimos h = 0 e resolvemos para t. Encontramos t total = 17,56 s.

Passo 3

Item e

Colocando t = ttotal na expressão de v(t) na parte d), descobrimos que a velocidade no impacto no solo é:

v g = = - m 0 g K t g h t t o t a l - t m a x K g m 0 ≅ - 49,2   m / s

Resposta

Ver passo a passo.