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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 65ab

Em um modelo de foguete típico (Estes Alpha III), o motor Estes C6 de combustível sólido fornece empuxo total de 8,5 N s. Suponha que a massa total do foguete no lançamento seja 54 g e que ele tenha um motor com massa 20 g que queima combustível uniformemente durante 1,5 s. O diâmetro do foguete é 24 mm. Suponha taxa de queima constante da massa do propelente (11 g), velocidade de exaustão do foguete de 800 m/s, ascensão vertical e coeficiente de arrasto cw = 0,75. Determine:

  1. A velocidade e altitude ao final da queima do motor
  2. Altura máxima atingida e tempo no qual ela ocorre
  3. Aceleração máxima
  4. Tempo total de vôo
  5. Velocidade no impacto com o solo.

Elabore um gráfico da altura e velocidade versus tempo. Para fins de simplificação e pelo fato de a massa de propelente ser apenas 20% da massa total, suponha massa constante durante a queima do foguete.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

A partir do enunciado temos:

I m p u l s o   t o t a l : P = 8,5   N ∙ s ; M a s s a   t o t a l :   m 0 = 0,054   k g ; T e m p o   d e   q u e i m a :   t f = 1,5   s

Á r e a   d e   s e ç ã o   t r a n s v e r s a l   d o   f o g u e t e : A = π d 2 4 = 4,5 ∙ 10 - 4   m 2 ;

C o e f i c i e n t e   d e   a r r a s t o :   c W = 0,75 ;

F o r ç a   d e   a r r a s t o : D = 1 2 ρ c W A v 2 = K v 2 = 2 ∙ 10 - 4 v 2 N

V e l o c i d a d e   d e   e s c a p e   d o   f o g u e t e : u = 800   m / s

A partir desses dados teremos que:

Item a

A massa total do propelente é: ∆ m = P u = 8,5 800 = 0,010625   k g

Como ∆ m ≅ 20 %   d e   m 0 , vamos assumir que a massa do foguete é aproximadamente constante neste problema. A equação do movimento do foguete é:

m 0 d v d t = - m 0 g + u α - K v 2 = > m 0 d v u α - m 0 g - K v 2 = d t

Onde a taxa de queima de combustível é:

α = ∆ m t f = 7,1 ∙ 10 - 3   k g / s

Usando a condição inicial v(t = 0) = 0, temos:

v t = u α - m 0 g K t g h K u α - m 0 g m 0 2

Substituindo os valores conhecidos, em tf = 1,5 s, obtemos:

v f ≅ 114,3   m / s

A altura correspondente é dada por:

h t = ∫ 0 t v t d t = m 0 K ln ⁡ cosh ⁡ t k u α - m 0 g m 0 2

Que em tf = 1,5 s nos dá:

h f ≅ 95,53   m

Passo 2

Item b

Após a queima, a equação de movimento é:

m 0 d v d t = - m 0 g - K v 2 = > m 0 d v m 0 g + K v 2 = - d t

Que tem solução:

v t = - m 0 g K t g t K g m 0 - C

Usando a condição de v(t) = vf quando t = tf, temos C = 1,43 rad, e a solução fica reescrita:

v t = - m 0 g K t g t K g m 0 - 1,43

E a equação para a altura correspondente fica:

h t = h f + ∫ t f t v t d t = h f + m 0 K 0,88 + ln ⁡ cos ⁡ t K g m 0 - 1,43

Quando o foguete atinge sua altura máxima (em t = tmax) o tempo máximo pode ser encontrado em v(t) = 0. Então encontramos tmax = 7,52 s e a altura máxima que o foguete pode atingir é hmax = 334 m.

Resposta

Ver passo a passo.