Uma mola sem massa de comprimento b e constante elástica k conecta duas partículas de massas m 1 e m 2 O sistema repousa em uma mesa lisa e pode oscilar e girar.

  1. Determine as equações de movimento de Lagrange.
  2. Quais são as quantidades de movimento generalizadas associadas com quaisquer coordenadas cíclicas?
  3. Determine as equações de movimento de Hamilton

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Fazendo um esboço da situação dita no enunciado, temos:

Usando as coordenadas polares l e θ :

x 2 = x 1 + l cos ⁡ θ

y 2 = y 1 + l sin ⁡ θ

x 2 ' = x 1 ' + l ' cos ⁡ θ - l sin ⁡ θ

y 2 ' = y 1 ' + l ' sin ⁡ θ + l   θ ' cos ⁡ θ

Assim obtemos a lagrangiana:

L = T - U = 1 2 m 1 x 1 ' 2 + y 1 ' 2 + 1 2 m 2 x 2 ' 2 + y 2 ' 2 - 1 2 k l - b 2

L = 1 2 m 1 + m 2 x 1 ' 2 + y 1 ' 2 + 1 2 m 2 l ' 2 + l 2 θ ' 2 + m 2 l ' x 1 ' cos ⁡ θ + y 1 '   sin ⁡ θ + m 2 l θ ' y 1 ' cos ⁡ θ - x 1 ' sin ⁡ θ - 1 2 k l - b 2

A equação de movimento para x 1 é:

d d t ∂ L ∂ x 1 ' = ∂ L ∂ x 1

d d t m 1 + m 2 x 1 ' + m 2 l ' cos ⁡ θ - m 2 l θ ' sin ⁡ θ = m 1 x 1 ' + m 2 x 2 ' = p x = 0

Assim p x é constante

E para y 1 :

d d t m 1 + m 2   y 1 ' + m 2 l ' sin ⁡ θ + m 2   l θ ' cos ⁡ θ = m 1 y 1 ' + m 2 y 2 ' = p y = 0

E igualmente, p y é constante

Para l :

d d t m 2 l ' + m 2   x ' cos ⁡ θ + y 1 ' sin ⁡ θ = m 2   l   θ ' 2 - k l - b + m 2   θ ' y 1 ' cos ⁡ θ - x 1 ' sin ⁡ θ

l ' ' - l   θ ' 2 + x ' ' cos ⁡ θ +   y 1 ' ' sin ⁡ θ + k m 2   l - b = 0

E finalmente, para θ :

d d t m 2   l 2 θ ' + m 2 l y 1 ' cos ⁡ θ - x 1 ' sin ⁡ θ = - m 2   l ' x 1 ' sin ⁡ θ - y 1 ' cos ⁡ θ + m 2   l   θ ' - x 1 ' cos ⁡ θ - y 1 ' sin ⁡ θ

θ ' ' + 2 l   l '   θ ' + cos ⁡ θ l   y 1 ' ' - sin ⁡ θ l   x 1 ' ' = 0

E assim temos todas as equações de movimento.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Como dizemos no item a)

∂ L ∂ x 1 ' = p x = c o n s t a n t e

∂ L ∂ y 1 ' = p y = c o n s t a n t e

Logo, a quantidade é inalterado.

Passo 3

Para c)

Redizendo a)

p x = ∂ L ∂ x 1 ' = m 1 + m 2 x 1 ' + m 2 l ' cos ⁡ θ - m 2 l θ ' sin ⁡ θ

p x = ∂ L ∂ y 1 ' = m 1 + m 2   y 1 ' + m 2 l ' sin ⁡ θ + m 2   l θ ' cos ⁡ θ

p l = m 2 x 1 ' cos ⁡ θ + m 2   y 1 ' sin ⁡ θ + m 2 l '

p θ = - m 2 l x 1 ' sin ⁡ θ + m 2 l y 1 ' cos ⁡ θ + m 2 l 2 θ '

Assim:

x 1 ' = 1 m 1 p x - p l cos ⁡ θ + sin ⁡ θ l   p θ

y 1 ' = 1 m 1 p y - p l sin ⁡ θ - cos ⁡ θ l   p θ

l ' = 1 m 1 - p x cos ⁡ θ - p y sin ⁡ θ + m 1 + m 2 m 2   p l

θ ' = 1 m 1 l p x sin ⁡ θ - p y cos ⁡ θ + m 1 + m 2 m 2 l   p θ

Assim, tomando que essas coordenadas não dependem do tempo, a energia total é hamiltoniana:

H = T + U

H = 1 2 m 1 p x 2 + p y 2 + m 1 + m 2 m 2   p l 2 + p θ 2 l 2 - 2 p l p x cos ⁡ θ + p y sin ⁡ θ + 2 p θ l p x sin ⁡ θ - p y cos ⁡ θ + 1 2   k l - b 2

E as equações de movimento dos momentos canônicos são:

p x ' = - ∂ H ∂ x 1 = 0

p y ' = - ∂ H ∂ y = 0

p l ' = - ∂ H ∂ l l = m 1 + m 2 p θ 2 m 1 m 2 l 3 + p θ m 1 l   p x sin ⁡ θ - p y cos ⁡ θ - k l - b

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = p l m 1 - p x sin ⁡ θ + p y cos ⁡ θ - p θ m 1 l p x cos ⁡ θ + p y sin ⁡ θ

Resposta

Para a)

d d t m 1 + m 2 x 1 ' + m 2 l ' cos ⁡ θ - m 2 l θ ' sin ⁡ θ = m 1 x 1 ' + m 2 x 2 ' = p x = 0

d d t m 1 + m 2   y 1 ' + m 2 l ' sin ⁡ θ + m 2   l θ ' cos ⁡ θ = m 1 y 1 ' + m 2 y 2 ' = p y = 0

l ' ' - l   θ ' 2 + x ' ' cos ⁡ θ +   y 1 ' ' sin ⁡ θ + k m 2   l - b = 0

θ ' ' + 2 l   l '   θ ' + cos ⁡ θ l   y 1 ' ' - sin ⁡ θ l   x 1 ' ' = 0

Para b)

∂ L ∂ x 1 ' = p x = c o n s t a n t e

∂ L ∂ y 1 ' = p y = c o n s t a n t e

Para c)

x 1 ' = 1 m 1 p x - p l cos ⁡ θ + sin ⁡ θ l   p θ

y 1 ' = 1 m 1 p y - p l sin ⁡ θ - cos ⁡ θ l   p θ

l ' = 1 m 1 - p x cos ⁡ θ - p y sin ⁡ θ + m 1 + m 2 m 2   p l

θ ' = 1 m 1 l p x sin ⁡ θ - p y cos ⁡ θ + m 1 + m 2 m 2 l   p θ

p x ' = - ∂ H ∂ x 1 = 0

p y ' = - ∂ H ∂ y = 0

p l ' = - ∂ H ∂ l l = m 1 + m 2 p θ 2 m 1 m 2 l 3 + p θ m 1 l   p x sin ⁡ θ - p y cos ⁡ θ - k l - b

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = p l m 1 - p x sin ⁡ θ + p y cos ⁡ θ - p θ m 1 l p x cos ⁡ θ + p y sin ⁡ θ