Enunciado

Uma mola de rigidez k = 500 N m está montada contra o bloco de 10   k g . Se obloco está sujeito à força F = 500   N , determine a sua velocidade em s = 0,5   m . Quando s = 0, o bloco está em repouso e a mola está comprimida. A superfície de contato é lisa.

Passo 1

No problema em questão, a força F provoca um deslocamento no bloco. Devida a esse perturbação inicial, a mola de rigidez k exercerá uma força de reação que, por definição, será F m = k s , assim, através do diagrama dinâmico, temos:

∑ F x   = m a   ∴ F 4 5 - k s = m a

500 4 5 - 500 s = 10 a

Isolando a aceleração do bloco, temos:

a = 500 4 5 - 500 s 10

a =   ( 40 - 50 s ) m / s 2

Passo 2

Podemos verificar que a aceleração do bloco é função do deslocamento s , ou seja, na medida em que o bloco se movimenta, a aceleração irá variar, então, não podemos utilizar as equações da cinemática para aceleração contante.

Para a resolução do problema, devemos desenvolver uma equação que relacione velocidade, aceleração e deslocamento. Sabemos que a velocidade e aceleração de um corpo é igual a taxa de variação do deslocamento e da velocidade em um determinado tempo, ou seja:

v   =   d s d t ; a =   d v d t

Isolando d t nas equações acima, temos:

d t =   d s v = d v a

v d v   = a d s

Passo 3

Agora que encontramos uma equação que relaciona as variáveis v ,   a   e   s , temos que substituir o valor da aceleração a na equação acima, e integrar os dos lados da igualdade:

v d v   = ( 40 - 50 s ) d s

∫ v d v   =   ∫ ( 40 - 50 s ) d s  

No enunciado do problema, o bloco parte do repouso ( v 0 = 0 ) em s = 0 e, em s   = 0,5 m, teremos a velocidade instantânea, assim, devemos integrar v d v   em um intervalo de ( 0   a   v ) e ( 40 - 50 s ) d s     em um intervalo de ( 0   a   0,5 ) :

∫ 0 v v d v =   ∫ 0 0,5 m ( 40 - 50 s ) d s

[ v 2 2 ] 0 v   =   [ 40 s ] 0 0,5 m -   [ 50 s 2 2 ] 0 0,5 m

1 2 v 2 - 0 2 =   40 0,5 - 0 - 25 ( 0,5 2 - 0 2 )

v 2 2   =   13,75   ∴ v = 2 × 13,75

v = 5,24 m / s

Resposta

Em s = 0,5   m , o bloco terá uma velocidade de 5,24   m / s .

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