Enunciado

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada, conforme mostra a figura. Determine a tensão no ponto A.

Passo 1

Então galera, como aqui precisamos entender alguns conceitos muito importantes sobre outros pontos, o cálculo dos momentos de inércia eu vou fazer bem rapidinho, assim, vamos ter que:

I y = 2 183 × 61 3 12 + 61 × 183 × 61 2 2 = 27691682   m m 4 = 27,7 × 10 6   m m 4

I z = 2 61 × 183 3 12 + 61 × 183 × 61 2 2 = 83075046   m m 4 = 83,1 × 10 6   m m 4

I z y = 2 61 × 183 × 61 2 × 61 2 = 20768761,5   m m 4 = 20,8 × 10 6   m m 4

Passo 2

Agora vamos entrar em um novo tipo de questão, ainda vamos continuar com os mesmos conceitos que aprendemos até agora, mas com coordenadas diferentes, isso vai acontecer porque a nossa LN não vai ser mais centralizada na vertical ou na horizontal como estamos acostumados, agora ela vai ficar na diagonal, e isso é um novo conceito para nós, pois mudará as nossas equações, por isso, olhando a nossa seção, temos que a nossa LN pode girar do seguinte modo:

Perceba que em pontilhado eu coloquei a LN “original” que chutaríamos para a nossa seção, e em linha cheia está a nossa LN’ que é a que de fato atua na nossa seção.

Até aqui tudo bem certo? Porém, pense no seguinte, nos calculávamos tudo com relação a LN certo? Como calcular com relação a essa nova? É ai que vai entrar o que precisamos. Lembra do nosso velho amigo círculo de mohr? Que nos ajudava a achar tensões máximas? Ele agora vai nos ajudar a achar inercias máximas, e a nossa inércia máxima vai ser exatamente a que atua na nossa LN, então vamos lá, como montar esse circulo de mohr para inércias?

  • Passo 1 – Definido as coordenadas
  • As nossas coordenadas vão ser dadas por:

    P o n t o   m é d i o I z + I y 2   ,   0

    P o n t o   Y I y   , I z y

    P o n t o   Z I z   , I z y

    Assim teremos que:

    P o n t o   m é d i o 55,4   ; 0

    P o n t o   Y 27,7   ; 20,8

    P o n t o   Z 83,1   ; 20,8

    Lembrando que todos são multiplicados por 10 6 , mas pra facilitar o cálculo me preocupei apenas com os valores principais. Lembrando das nossas fórmulas do círculo de mohr, podemos determinar as nossas inércias pela seguinte equação:

    R = I z - I y 2 2 + I z y 2

    R = 83,1 - 27,7 2 2 + 2 0,8 2 = 34,64

    E as inércias máximas e mínimas serão dadas por:

    I u = I z + I y 2 - R = 55,4 - 34,64 = 20,76

    I v = I z + I y 2 + R = 55,4 + 34,64 = 90,04

    E como temos que lembrar, precisamos multiplicar tudo por 10 6 .

    I u = 20,76 × 10 6   m m 4

    I v = 90,04 × 10 6   m m 4

    E o que são v   e   u ? São as novas coordenadas do nosso sistema, assim, temos que:

    Passo 3

    Agora que já temos as inércias, precisamos determinar o ângulo para podermos determinar as coordenadas, e sabe como podemos determinar isso? Lembra da nossa formulazinha do círculo de mohr? Que calculava ângulo? Isso mesmo, vamos usar ela mesmo, assim temos que:

    T g   2 θ m = 2 I y z I z - I y = 2 × 20,8 ( 83,1 - 27,7 ) = 0,751

    2 θ m = 36,9

    θ m = 18,45 °

    Agora que temos o ângulo, podemos analisar tanto o valor de momento quanto os correspondestes de y   e   z nas coordenadas u   e   v , assim, teremos que:

  • MOMENTOS FLETORES
  • M v = 14122 C o s 18,45 ° = 13396   k N m m = 13396132   N m m

    M u = 14122 S e n 18,45 ° = 4469   k N m m = 4469288   N m m

  • u A  
  • u A = 122 C o s 18,45 ° + 61 S e n 18,45 ° = 135   m m

  • v A  

v A = - 122 S e n 18,45 ° + 61 C o s 18,45 ° = 19,26   m m

Passo 3

Agora só precisamos lembrar que a determinação da tensão é dada pela seguinte equação adaptada:

σ A = - M v u A I v + M u v a I u

Assim temos que:

σ A = - 13396132   N m   135 [ m m ] 90,04 × 10 6   m m 4 + 4469288   N m   19,26   [ m m ] 20,76 × 10 6   m m 4

σ A = - 16 N m m 2 = - 16   M P a

Resposta

σ A = - 16   M P a

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