Enunciado

Mostre que a curva assumida por um cabo que carrega uma carga distribuída w ( x ) é definida por pela equação diferencial d 2 y / d x 2 = w ( x ) / T 0 , sendo T 0 a tração no ponto mais baixo.

Passo 1

Bom galera, vamos começar analisando que atuam na vertical:

E nós sabemos que o corpo está em equilíbrio, então:

∑ F y = 0

→ T y x + Δ x - T y ( x ) - w x Δ x = 0

→ T y x + Δ x - T y ( x ) = w x Δ x

Então dividimos tudo por T 0 pra ficar parecido com o que o problema deu: T y x + Δ x T 0 - T y ( x ) T 0 = w x Δ x T 0  

Passo 2

Show de bola, enquanto isso a gente tem que:

T y T 0 = d y d x

Então, juntando as equações, a gente encontra: d y d x x + Δ x - d y d x x Δ x = w x T 0

Passo 3

Por fim, a gente aplica um limite, em que Δ x → 0 :

lim Δ x → 0 ⁡ d y d x x + Δ x - d y d x x Δ x = w x T 0

Nós notamos que essa expressão é familiar, porque ele é aquela lá da derivada, porque é ela mesmo, logo:

d 2 y d x 2 = w x T 0

Prontinho, está provado, nem é tão difícil assim vai.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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