Mostre que a equação

∇ 2 Ψ - 1 c 2   ∂ 2 Ψ ∂ t 2 = 0

é invariante sob uma transformação de Lorentz, mas não sob uma transformação de Galileu. (Esta é a equação de onda que descreve a propagação das ondas de luz em espaço livre).

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Prepara o braço que ai vem conta em.

Antes, se a equação for Ψ x , i c t , assim:

∇ 2 Ψ x , i c t - 1 c 2   ∂ 2 Ψ x , i c t ∂ t 2 = 0

Se essa equação for invariante em Lorentz, então em sistema transformado devemos ter:

∇ ' 2 Ψ x ' , i c t ' - 1 c 2   ∂ 2 Ψ x ' , i c t ' ∂ t ' 2 = 0  

Onde, sabemos que a derivada do laplaciano é:

∇ ' 2 = ∂ 2 ∂ x ' 2 + ∂ 2 ∂ y ' 2 + ∂ 2 ∂ z ' 2

Assim, a equação pode ser escrita:

∑ μ = 1 4 ∂ 2   Ψ x ' , i c t ' ∂ x μ ' 2 = 0

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Agora precisamos determinar como o operador

∑ μ ∂ 2 ∂ x μ ' 2

Se relaciona como operador original

∑ μ ∂ 2 ∂ x μ 2

Bom... Assim, tomemos a relação:

x μ ' = ∑ v λ μ v   x v

x v = ∑ μ λ μ v   x μ '

Assim:

∑ μ λ μ v   λ μ λ = δ v λ

Então:

∂ ∂ x μ ' = ∑ v ∂ ∂ x v ∂ x v ∂ x μ ' = ∑ v λ μ v ∂ ∂ x v

E:

∂ 2 ∂ x μ ' 2   = ∑ v λ μ v ∂ x v ∑ λ λ μ λ ∂ ∂ x λ = ∑ v ∑ λ λ μ v λ μ λ ∂ ∂ x v ∂ ∂ x λ

Portanto:

∑ μ ∂ 2 ∂ x μ ' 2   = ∑ v ∑ λ ∑ μ λ μ v   λ μ λ   ∂ ∂ x v ∂ ∂ x λ  

= ∑ v ∑ λ δ v λ ∂ ∂ x v ∂ ∂ x λ

= ∑ ∂ 2 ∂ x λ 2

Deste que λ e μ sejam índices de simulação, vemos que o operador ∑ ∂ 2 ∂ x μ 2 é invariante sob um transformação de Lorentz, como queríamos demonstrar. Assim:

∑ μ ∂ 2 Ψ x ' , i c t ' ∂ x μ ' 2 = 0

Passo 3

Agora temos que provar que é variante segundo transformação de Gallileu

x ' = x - v x t

y ' = y - v y t  

z ' = z - v z t

t ' = t

E usando essas equações, temos:

∂ ∂ x ' = ∂ ∂ x ∂ x ∂ x ' + ∂ ∂ t ∂ t ∂ x ' = ∂ ∂ x - 1 v x ∂ ∂ t

∂ ∂ y ' = ∂ ∂ y - 1 v y ∂ ∂ t

∂ ∂ z ' = ∂ ∂ y - 1 v z ∂ ∂ t

∂ ∂ t `   = ∂ ∂ t  

Portanto

∂ ∂ x ' 2 + ∂ 2 ∂ y ' 2 + ∂ 2 ∂ z ' 2 - 1 c 2 ∂ 2 ∂ t ' 2 =

= ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 - 1 c 2   ∂ 2 ∂ t 2 + 1 v x 2 + 1 v y 2 + 1 v z 2 ∂ 2 ∂ t 2 - 2 1 v x ∂ 2 ∂ x ∂ t + 1 v y ∂ 2 ∂ y ∂ t + 1 v z ∂ 2 ∂ z ∂ t

Provando não satisfazer da mesma forma que o Lorentz fez, sendo nesse caso variante

Resposta

A resolução está no passo-a-passo.