Mostre que as equações de transformação que ligam os sistemas K’ e K (Equações 14.14) podem ser expressadas como:

x 1 ' = x 1 cosh ⁡ α - c t sinh ⁡ α

x 2 ' = x 2

x 3 ' = x 3

t ' = t cosh ⁡ α - x 1 c sinh ⁡ α

Onde tanh ⁡ α = v c . Mostre que a transformação de Lorentz corresponde a uma rotação por um ângulo i α   no espaço quadridimensional.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

As equações dadas:

x 1 ' = x 1 cosh ⁡ α - c t sinh ⁡ α

x 2 ' = x 2

x 3 ' = x 3

t ' = t cosh ⁡ α - x 1 c sinh ⁡ α

Das equações dadas, introduzamos cosh ⁡ α = cos ⁡ i α e i sinh ⁡ α = sin ⁡ i α , assim:

x 1 ' = x 1 cos ⁡ i α + i c t   sin ⁡ i α

i c t ' = - x 1 sin ⁡ i α + i c t cos ⁡ i α

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Das equações dadas, introduzamos cosh ⁡ α = cos ⁡ i α e i sinh ⁡ α = sin ⁡ i α , assim:

x 1 ' = x 1 cos ⁡ i α + i c t   sin ⁡ i α

i c t ' = - x 1 sin ⁡ i α + i c t cos ⁡ i α

Lembra da equação de um sistema tridimensional rotacionado?

x 1 ' = x 1 cos ⁡ θ + x 2 sin ⁡ θ

x 2 ' = - x 1 sin ⁡ θ + x 2 cos ⁡ θ

x 3 ' = x 3

No plano fica:

Passo 3

Assim, nós podemos ver que isso corresponde a rotação de x 1 - i c t no plano em i α .

Resposta

A resolução está no passo-a-passo.