Enunciado

(a) Mostre que a tensão no vértice A do elemento prismático mostrado na Fig. a será zero se a força vertical P for aplicada a um ponto localizado na linha.

x b / 6 + z h / 6 = 1

(b) Mostre ainda que, para não ocorrer tensão de tração no elemento, a força P deve ser aplicada a um ponto localizado dentro da área delimitada pela linha encontrada na parte (a) e três linhas similares correspondendo à condição de tensão zero em B, C e D, respectivamente. Essa área, mostrada na Fig. b, é conhecida como núcleo central da seção transversal.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício encontrando as grandezas que iremos utilizar nos cálculos, a começar pelo momento de inércia. Lembrando que como temos uma seção retangular, o momento de inércia é dado por:

I = a b 3 12

Onde temos que a é a medida do lado paralelo ao eixo do momento em que estamos calculando, e b é a medida do lado transversal. Então, no nosso caso, para o momento em x temos:

I x = b h 3 12

E, para o momento em z , teremos:

I z = h b 3 12

Agora, através da análise da ilustração fornecida no enunciado, temos que a distância a partir do centro, até a extremidade A em x será:

x A = - b 2

Agora, a distância em z será:

z A = - h 2

Agora, sabemos que o momento em relação a x pode ser escrito como:

M x = P z A

E o momento em relação a z será:

M z = - P x A

E, por último, a área da seção transversal superior será dada por:

A = b h

Passo 2

Agora, para a letra (a), vamos utilizar a equação 4.58 vista nesse capítulo e aplica-la para o ponto A, dessa forma, teremos:

σ A = - P A + M z x A I z - M x z A I x

Então, no nosso caso, como foi dito no enunciado, precisamos mostrar que a tensão no vértice A será zero quando a força for aplicada na linha em questão. Dessa forma, vamos igualar a tensão em A a zero para encontrar a equação da linha fornecida. Então, a equação acima se torna:

0 = - P A + M z x A I z - M x z A I x

Agora o que nós vamos fazer é substituir as expressões que encontramos no passo 1 nessa equação, então teremos:

0 = - P b h + - P x A - b 2 h b 3 12 - P z A - h 2 b h 3 12

0 = - P b h + P x A b 2 12 h b 3 + P z A h 2 12 b h 3

0 = - P b h + 6 P x A h b 2 + 6 P z A b h 2

Colocando o termo - P / b h em evidência, chegamos em:

0 = - P b h 1 - 6 x A b - 6 z A h → 0 = 1 - 6 x A b - 6 z A h

6 x A b + 6 z A h = 1

Perceba que a equação está num formato bem parecido com aquela pedida no enunciado, só precisamos agora fazer aparecer o 1/6 no denominador. Para isso, vamos multiplicar a equação acima em cima e embaixo por 1/6, chegando em:

1 6 1 6 6 x A b + 1 6 1 6 6 z A h = 1 6 1 6 1 → x A b / 6   + z A h / 6 = 1

Pronto! Essa é a equação que queríamos encontrar.

Passo 3

Agora, para a letra (b), vamos analisar a ilustração (b) fornecida no enunciado. Percebemos que a região de interesse está delimitada a uma altura h / 6 e largura b / 6 do centro da peça. Dessa forma, temos que as distâncias até elas em relação a x e z serão:

x E = b 6

z F = h 6

Sendo E o ponto a direita do centro e F o ponto na extremidade inferior. Substituindo esses valores na equação da linha de equilíbrio fornecida no enunciado, teremos:

x b / 6 + z h / 6 = 1 → b / 6   b / 6 + h / 6 h / 6 = 1

Podemos observar que essa relação é satisfeita. E, como os outros pontos da região delimitada na ilustração (b) são simétricos a esses dois anteriores, eles também irão satisfazer essa condição. Dessa forma, de fato não teremos tensão de tração no elemento.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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