Um novo lançador de projéteis é desenvolvido em 2023, capaz de lançar um projétil esférico de 104 kg com velocidade inicial de 6000 m/s. Para fins de teste, os objetos são lançados verticalmente.

  1. Despreze a resistência do ar e suponha que a aceleração da gravidade é constante. Determine altura que pode ser alcançada pelo objeto Iançado acima da superfície da Terra.
  2. Se o objeto tiver um raio de 20 cm e a resistência do ar for proporcional ao quadrado da velocidade do objeto com cw = 0,2, determine a altura máxima alcançada. Suponha que a densidade do ar é constante.
  3. Inclua agora o fato de que a aceleração da gravidade decresce à medida que o objeto sobrevoa a Terra. Determine a altura alcançada.
  4. Acrescente os efeitos do decréscimo da densidade do ar com a altitude no cálculo. Podemos representar de forma aproximada a densidade do ar por log10(ρ) = –0,05h + 0,11, onde ρ é a densidade do ar em kg/m3 e h é a altitude acima da Terra em km. Determine a altura agora alcançada pelo objeto.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

Item a

Sem resistência do ar e gravidade constante, o problema é simples:

1 2 m v 0 2 = m g h

Dando a altura máxima do objeto como:

h = v 0 2 2 g = 6000 2 2 ∙ 9,81 ≅ 1834,9   k m

O tempo que leva para fazer isso é:

t = v 0 g = 6000 9,81 ≅ 611,62   s   o u   ≅ 10,2   m i n

Passo 2

Item b

Quando adicionamos a expressão para a resistência do ar, a equação diferencial que descreve a subida do projétil é:

F = m d v d t = - m g - 1 2 c W ρ A v 2 = - m g 1 + v v t 2

Onde a velocidade terminal é:

v t = 2 m g c W ρ A

Usando 1,3 kg/m3 como a densidade do ar, teremos que a solução desta equação diferencial dá:

v t = v t ∙ t g t g - 1 v 0 v t - g t v t

Que nos dá v = 0 no tempo τ = v t g t g - 1 v 0 v t ≅ 300   s . A velocidade pode, por sua vez, ser integrada para fornecer a coordenada y do projétil na subida. A altura que atinge é a coordenada y no tempo τ:

h = v t 2 2 g ln ⁡ 1 + v 0 v t 2 ≅ 600   k m

Passo 3

Item c

Mudando a aceleração da gravidade de:

- g   p a r a - G M e R e + y 2 = - g R e R e + y 2

Muda nossa equação diferencial para y para:

y ¨ = - g y ˙ v t 2 + R e R e + y 2

Usando as técnicas numéricas usuais, descobrimos que o projétil atinge uma altura de 630 km em um tempo de vôo de 330 s.

Passo 4

Item d

Agora devemos substituir o ρ na equação de resistência do ar por ρ(y). Dada a dependência de ρ, podemos escrever a equação diferencial:

y ¨ = - g ρ ( y ) ρ 0 y ˙ v t 2 + R e R e + y 2

Onde usamos:

log 10 ⁡ ρ ( y ) = 0,11 - 5 ∙ 10 - 5 y   e   ρ 0 = 1,3   k g / m 3

O projétil atinge então uma altura de 2500 km em um tempo de vôo de 940 s.

Resposta

Ver passo a passo.