Obtenha as componentes do vetor de velocidade vetorial angular ω (veja a Equação 11.102) diretamente da matriz de transformação λ (Equação 11.99).

Passo 1

Como ω ϕ = ϕ ˙ está ao longo do eixo fixo x 3 ' , os componentes de ω ϕ ao longo dos eixos x i do corpo são dados pela aplicação da matriz de transformação:

ω ϕ 1 ω ϕ 2 ω ϕ 3 = ϕ ˙ 1 ϕ ˙ 2 ϕ ˙ 3 = λ → 0 0 ϕ ˙  

Realizando a multiplicação:

ω ϕ 1 ω ϕ 2 ω ϕ 3 = ϕ ˙ s e n   ψ ∙ s e n θ c o s   ψ ∙ s e n θ c o s θ

Passo 2

A direção de ω θ = θ ˙ coincide com a linha de nós e situa-se ao longo do eixo x 1 ' ' ' . o

componentes de ω θ   ao longo dos eixos do corpo são, portanto, obtidos pela aplicação do

matriz de transformação λ ψ que carrega o sistema x 1 ' ' ' no sistema dentro de x i :

ω θ 1 ω θ 2 ω θ 3 = λ ψ θ ˙ 0 0   = θ cos ⁡ ψ - s e n   ψ 0   ˙

Finalmente, como ω ψ encontra-se ao longo do corpo no eixo x 3 , nenhuma transformação é necessária:

ω ψ 1 ω ψ 2 ω ψ 3 = ψ ˙ 0 0 1  

Resposta

Combinando os resultados, temos:

ω → = ω ϕ 1 + ω θ 1 + ω ψ 1 ω ϕ 2 + ω θ 2 + ω ψ 2 ω ϕ 3 + ω θ 3 + ω ψ 3 = ϕ ˙ ϕ ˙   s e n   ψ ∙ s e n   θ + θ ˙ c o s ψ ϕ ˙   c o s   ψ ∙ s e n   θ + θ ˙ s e n   ψ θ ˙ c o s θ + ψ ˙